第2讲三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换化简、求值[核心提炼]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.[典型例题](1)已知cos＋sinθ＝，则sin的值是()A．B．C．－D．－(2)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是()A.B.C.或D.或【解析】(1)因为cos＋sinθ＝，所以cosθ＋sinθ＝，即＝，即sin＝，所以sin＝，所以sin＝－sin＝－.故选C.(2)因为α∈，所以2α∈，又sin2α＝，故2α∈，α∈，所以cos2α＝－.又β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.【答案】(1)C(2)A三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[对点训练]1．(2019·杭州市高三模拟)函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于()A．5B．C．D．2解析：选B.因为f(x)＝3sincos＋4cos2＝sinx＋2cosx＋2＝＋2＝sin(x＋φ)＋2，1其中sinφ＝，cosφ＝，所以函数f(x)的最大值为.2．(2019·浙江五校联考)已知3tan＋tan2＝1，sinβ＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝()A.B．－C．－D．－3解析：选B.因为sinβ＝3sin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，所以sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)·cosα＋3cos(α＋β)sinα，所以2sin(α＋β)cosα＝－4cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝＝－＝－2tanα，又因为3tan＋tan2＝1，所以3tan＝1－tan2，所以tanα＝＝，所以tan(α＋β)＝－2tanα＝－.3．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝，则sin2x＝________，＝________．解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sinx－cosx＝，即sinx＋cosx＝－，两边平方得：sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，即1＋sin2x＝，则sin2x＝－，由＝＝＝＝＝－.答案：－－利用正、余弦定理解三角形[核心提炼]1．正弦定理及其变形在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.3．三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________．(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.①证明：A＝2B；②若cosB＝，求cosC的值．【解】(1)因为a＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sinB＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.故填：3.(2)①证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，2故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.②由cosB＝得sinB＝，cos2B＝2cos2B－1＝－，故cosA＝－，sinA＝，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理．[对点训练]1．(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．解析：在Rt△ABC中，易得AC＝5，sinC＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDcos∠BDC...
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