第五节空间向量及其运算和空间位置关系突破点一空间向量及其运算1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量(2)空间向量中的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc2.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.()(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．()(3)空间中任意两非零向量a，b共面．()(4)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(5)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.()(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6)×二、填空题11．如图，已知空间四边形ABCD，则AB＋BC＋CD等于________．答案：AD2．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为________．答案：13．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________.答案：324．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.答案：7考法一空间向量的线性运算[例1]已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：(1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA；(2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.[解](1)如图， OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC)＝PQ－PA－PC，∴x＝y＝－.(2) PA＋PC＝2PO，∴PA＝2PO－PC.又 PC＋PD＝2PQ，∴PC＝2PQ－PD.从而有PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD.∴x＝2，y＝－2.[方法技巧]用已知向量表示某一向量的3个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考法二共线、共面向量定理的应用[例2]已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.[证明](1)如图，连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．(2)因为EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.[方法技巧]1．证明空间三点P，A，B共线的方法2(1)PA＝λPB(λ∈R)；(2)对空间任一点O，OP＝OA＋tAB(t∈R)；(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)MP＝xMA＋yMB；(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；(3)对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)；(4)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM)．考法三空间向量数量积的应用[例3]如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点．若正方体的棱长为1.求cos〈CE，AF〉．[解] |CE|＝＝＝＝|AF|，∴CE·AF＝|CE||AF|cos〈CE，AF〉＝cos〈CE，AF〉．又 CE＝CC1＋C1E，AF＝AD＋DF，∴CE·AF＝(CC1＋C1E)·(AD＋DF)＝CC1·AD＋C1E·AD＋CC1·DF＋C1E·DF＝|CC1||DF|＝1×＝.∴cos〈CE，AF〉＝.[方法...
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