第十节变化率与导数、导数的运算导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[小题体验]1．下列求导运算正确的是()A.＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2sinx解析：选B＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln3；＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx．故选B.2．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．答案：2x－y＋1＝01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′＝αxα－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axlna混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y＝的导函数为________________．答案：y′＝2．(2018·杭州模拟)函数f(x)＝x2＋的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．x－y＋1＝0B．3x－y－1＝0C．x－y－1＝0D．3x－y＋1＝0解析：选A函数f(x)＝x2＋的导数为f′(x)＝2x－，可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2－1＝1，切点为(1,2)，可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，即为x－y＋1＝0.故选A.[题组练透]求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝；(4)(易错题)y＝xsincos；(5)y＝ln(2x－5)．解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.(3)y′＝′＝＝－.(4) y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x.(5)令u＝2x－5，y＝lnu，则y′＝(lnu)′u′＝·2＝，即y′＝.[谨记通法]求函数导数的3种原则[提醒]复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．[锁定考向]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．曲线y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()A．B．C．D．1解析：选B因为y′＝，所以y′，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝.角度二：求切点坐标2．(2018·湖州模拟)曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)和(－1，－4)D．(2,8)和(－1，－4)解析：选C设P0(x0，y0)，则f′(x)＝3x2＋1，即f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以P0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)，经检验，都符合题意．故选C.角度三：求参数的值(范围)3．(2018·宁波二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是()A．[－1,2]B．(3，＋∞)C．D．解析：选D由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1， ex＋1＞1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cosx，得g′(x)＝3a－2sinx，又－2sinx∈[－2,2]，∴3a－2sinx∈[－2＋...
VIP
