潍坊科技学院教案课程名称：线性代数授课人：课题行列式按行（列）展开与克拉默法则课时2课时教学目的熟记克拉默法则并会用它来解未知量个数不太多的线性方程组与要求掌握展开法则并会灵活运用教学重点与难点重点：行列式的展开法则及推论难点：利用降阶法计算行列式主要内容及步骤备注教组织教学学新课引入新课讲授过一、行列式的展开法则程余子式与代数余子式行列式的展开法则与推论例题讲解二、克拉默法则克拉默法则例题讲解课堂小结布置作业授课效果分析总结行列式等于a与它的代数余子式的乘积,ij即D二aAijija11aa2a2工(-1)^(j2j3...jn)aaj2j3•…n112j…anj=a工(一1)工(j2人…丿”)a…a112jnj2nj2厶…anana1a22aa23aanna2na=aM=a(-1)1+1M=a1111111A1111ananana1a1a1再证一般的情形，此时Daia，此时D的第i行依次与第i-1inananan行，第i-2行，…第行对调后,再将第j列依次与第j-1列，第j-2§行列式按行(列)展开复习提问：三阶行列式的计算讲授新课：先引进余子式和代数余子式的概念定义：在n阶行列式中，把元素a所在的第i行和第j列划去后，剩下的ij元素按原来顺序不变构成的n-1阶行列式叫做元素a的余子式，记作M；ijij记A=(-1)i+jM,A为元素a的代数余子式。ijijijij引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除a外都为零，那么这ij证明：先证i二1,j二1的情形，此时有列，・••第列对调，这样经过i+j-2次对调后，得2n二（一CL=4计算D=2nacd0aijai-1,jai-=a(—l)2M(—1)i+j-2，故D=aAijijijijananan1—11301332—定理：行列式等于它的任一行（列）的个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=aA+aAdFaA（i=1,2…n）i1i1i2i2inin或D二aA+aAFFaA（j二1,2…n）j1j1ji2j2jnjn注：这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。称用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。3计算行列式D二-52保留a，把第行其余元素变为，然后按第行展开:3351—11511—1113—1二(—1)3+3—111—10010—5—0—5—30D乜兰3C4+C3n1nn解按第行展开，有abaa0a0b0ab+b(—1)1+2n-0abcdcdc0d0c0c0……0bJc0…以此作递推公式即可得D二(ad—bc)D二(ad—bc)2D二…二(ad—bc)n2n2(n-1)2(n-2)由定理，我们可以得到如下重要结论推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即aA+aA+•••+aA=0,i丰j•-I•-I•••i1j1i2j2injin或aA+aAHFaA=0,i丰j1i1j2i2jniiin克拉默法则含有n个未知数x,x，…,x的n元线性方程组12nax+axHFax1111221nnax+axHFax<2112222nax+axHHax=bn11n22nnnn2n2nadD—bc(-1)2n-i+iD(ad—bc)D2(n-1)2(n-1)2(n-1)D=2nn1nn克拉默法则:如果线性方程组（）的系数行列式不等于零，即a1a1丰那么，方程组（）有唯一解aa与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即有a1ana1,j-1b1a,j+11a,j一1ba,j+1nnn2x+x一5x+xa1an解线性方程组J2x定如果线性方程组的则（）一定定理（定理的逆否定理）:如果线性方程组无解或有两个不同的DDDI~~亠x=—1,x=—2-,.…,x=n,1D2DnD其中D（j=1,2,…,n）是把系数行列式D中的j列的元素用方程组右端的常数j项代替后所得到的n阶行列式，即x一3x一6x=9,'—x+2x=—5,234x+4x一7x+6x=0181一128一19一0—190—D一一8一一51一2—220—204一7610一76218121一581一9—1一09D一一5-二一2一一53022402—140614一70于是得x=3x-二—4,x一—1,x一1.有解，且解是唯一的解则它的系数行列式必为零定义：线性方程组右端的常数项b、b、…、b不全为零时线性方程组12n叫做非齐次线性方程组当b、b、…、b全为零时线形方程组叫做齐12n次线性方程组定理：如果齐次线性方程组的系数行列式DM0则齐次线性方程组只有非1234=27,21一107一13r-r7一1c1+2c_一一31一0一12r—r1一0一12c+2c一3r==2一232一0—10=02一202一2一-27一1一一-214一607一12D二=—108=27,1234零解推论：如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必为零例问九取何值时齐次线性方程组'（5—九）x+2y+2z二0,<2x+（6-九）y二0,有非零解？2x+（4—九）z二0解：若齐次线性方程组（）有非零解，则（）的系数行列式D二0而5-九22D=26-九0204-九=（5—九）（6—九）（4—九）—4（4—九）—4（6—九）=（5—九）（2—九）（8—九），由D=01得九=2、九=5或九=8.不难验证当九二2、5或8时齐次线性方程组确有非零解小结与提问小结本讲介绍了行列式的展开法则与克拉默法则，要会利用降阶法计算行列式，利用克拉默法则求线性方程组中的变量提问行列式的展开法则课外作业P（）24
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