第一章常用逻辑用语人教B版数学命题的四种形式大石桥二高中焦廷奎第一章常用逻辑用语人教B版数学1．四种命题的概念把命题“如果p，则q”看作原命题，则它的①逆命题是“”；②“否命题是”；③“逆否命题是”．如果q，则p如果非p，则非q如果非q，则非p第一章常用逻辑用语人教B版数学2．四种命题间的关系3．四种命题的真假性关系(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性．逆否命题没有关系第一章常用逻辑用语人教B版数学[例1]若a、b、c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．[分析]认清命题的条件p和结论q，然后按定义书写逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假．第一章常用逻辑用语人教B版数学[解析]逆命题：“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0.”它是假命题，如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2>0.否命题：“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根”，它是假命题，这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题的缘故．逆否命题：“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0.”它是真命题，因为原命题是真命题，它与原命题等价．第一章常用逻辑用语人教B版数学命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．第一章常用逻辑用语人教B版数学[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.第一章常用逻辑用语人教B版数学[例2]写出下列各命题的否定形式及命题的否命题，并分别判断它们的真假：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)所有的方程不都是不等式；(3)自然数的平方是正数．第一章常用逻辑用语人教B版数学[解析]原命题的否定形式：(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形．为真命题．(2)所有的方程都是不等式，为假命题．(3)自然数的平方不都是正数，为真命题．原命题的否命题：(1)面积不相等的三角形不是全等三角形，为真命题．(2)有些方程是不等式，为假命题．(3)有些自然数的平方不是正数，为真命题．第一章常用逻辑用语人教B版数学[说明]命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆．第一章常用逻辑用语人教B版数学写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；(2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.第一章常用逻辑用语人教B版数学[解析](1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，假命题．命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，假命题．(2)否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数，假命题．命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数，真命题．(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零，真命题．命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为零，假命题.第一章常用逻辑用语人教B版数学[例3]判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析]可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的等价关系去判断原命题的真假．问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解．第一章常用逻辑用语人教B版数学[解析]解法一：逆否命题为已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，对应方程的Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真．第一章常用逻辑用语人教B版数学解法...
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