例题解析离散型随机变量的分布列及其性质【例1】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量ξ的分布列．思路点拨：乘客在每一层下电梯的概率相等，都为13，服从二项分布．解：由于ξ～B(5，13)，即有P(ξ＝k)＝C5k·(13)k·(23)5－k，k＝0,1,2,3,4,5.从而ξ的分布列为：ξ012345P32243802438024340243102431243【例2】设随机变量ξ的分布列P(ξ＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P(ξ≥35)；(3)求P(110＜ξ＜710)．思路点拨：分布列有两条重要的性质：pi≥0，i＝1,2,3，…；p1＋p2＋…＝1，利用第二条性质可求a的值．由于ξ的可能取值为15，25，35，45，1，所以满足ξ≥35或110＜ξ＜710的ξ值，只能是在15，25，35，45，1中选取，且它们之间在一次试验中为互斥事件，所以求得满足条件的各概率之和即可．解：(1)a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.(2)P(ξ≥35)＝P(ξ＝35)＋P(ξ＝45)＋P(ξ＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P(110<ξ<710)＝P(ξ＝15)＋P(ξ＝25)＋P(ξ＝35)＝115＋215＋315＝25.变式训练21：设某人在某段时间内能成功登录某一网站的概率为34，设在该段时间内此人到成功登录该网站为止登录的次数为ξ.(1)写出ξ取值的集合；(2)计算P(ξ＝3)及P(ξ≤2)．解：(1)ξ取值的集合为{1,2,3,4,5，…}．(2)ξ＝3表示前两次登录失败而第三次登录成功，因此P(ξ＝3)＝14×14×34＝364，而ξ≤2表示ξ＝1(即第一次登录就成功了)或ξ＝2(即第一次登录失败而第二次登录成功)，且ξ＝1与ξ＝2表示的两个结果互斥，因此P(ξ≤2)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝34＋14×34＝1516.离散型随机变量的期望与方差【例3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布和期望Eξ.解：法一：(1)P＝1－C62C102＝1－1545＝23.即该顾客中奖的概率为23.(2)ξ的所有可能值为：0,10,20,50,60(元)．且P(ξ＝0)＝C62C102＝13，P(ξ＝10)＝C31C61C102＝25，P(ξ＝20)＝C32C102＝115，P(ξ＝50)＝C11C61C102＝215，P(ξ＝60)＝C11C31C102＝115.故ξ的分布列为：ξ010205060P1325115215115从而期望Eξ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.法二：(1)P＝C41C61＋C42C102＝3045＝23.(2)ξ的分布列求法同法一．由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值Eξ＝2×8＝16元．变式训练31：盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性相同)，记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.(1)求随机变量ξ的分布列；(2)求随机变量ξ的期望Eξ.解：每次摸球的概率为等可能性事件的概率．(1)由题意可知，随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10，随机变量的分布列如下：ξ2346710P0.090.240.160.180.240.09(2)随机变量ξ的数学期望为Eξ＝2×0.09＋3×0.24＋4×0.16＋6×0.18＋7×0.24＋10×0.09＝5.2.综合应用【例4】(2009年高考北京卷)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．思路点拨：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝(1－13)×(1－13)×13＝427.(2)由题意，可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)．事...
