计算物理 随机游走VIP免费

12-6随机游走1906年Perrson提出，随机游走是一种基于运用[0,1]区间的均匀分布随机数序列来进行的计算。2一Brown运动1827年植物学家Brown观察到水中的花粉等颗粒可以不停的作无规则运动。由于Brown颗粒的质量远较液体的分子大，我们将颗粒看成是一个巨分子，它不停地受到周围环境中液体分子的碰撞，这种碰撞的频率为每秒1019次，因此我们观察到的Brown颗粒的运动是大量碰撞的涨落的结果，它是一种完全无规则的随机运动。3在描述Brown运动时，我们将影响系统在相空间中轨迹的随机力应用于决定性运动方程，也就是把液体分子的自由度凝缩为仅用随机力代表。1907年由Langevin提出的Brown运动方程：为阻力vfxFxmxFx为涨落力2222221)(xxdtdxxxdtdxx2222221)(21xdtdxFxmmxdtdx42222221)(21xdtdxFxmmxdtdx对颗粒总数进行平均：222221xmmxdtd221xdtdxFxTkxmB2mTkxdtdmxdtdB22222涨落力平局值为零2122cectTkxmtB由于指数项的幂系数非常大，α/m≈107秒-1，当时间t=10-6秒时指数项可以忽略。将起始点放在原点，c2=0DttTkxB222D为扩散系数。5二醉汉行走问题xO1isPerson在1905年发表于《Nature》的论文中提出的：“一个人从θ点出发，沿直线走了l码，然后他转了一个角度后由沿第二条直线走了l码，他重复了n次这样的过程。我想求出n次过程后此人位于离开起始点r到r+dr距离内的概率”6x醉汉的步长为1向右行走的一步的几率为p=0.5O向左走一步的几率为q=1-p=0.5向右走了nR步，向左走了nL总共走了n=nR+nL步niinsx1njjniinssx112jnjijiijnjiiissss,1,1,11is0)(nqpxn12is7niinsx1njjniinssx1120nx22122111ssssssssnsxniin122)()(2121ssssjnjijiijnjiiissss,1,1,1DttTkxB22221D8三扩散的物理扩散是由于粒子浓度梯度的存在▽ρ形成粒子往低浓度区域迁移的趋势，单位时间内通过某一方向垂直截面的粒子数即为粒子流密度：DJ由粒子数守恒的Liouvill连续性方程：0Jt),(),(0txptxp(x,t)dx为粒子在t时刻存在于x-x+dx之间的概率：),(),(2txpDttxp9任意函数的平均值可以表示为：dxtxptxfyxf),(),(),(0),(tp╳x，再积分。),(),(2txpDttxpdxtxxptdxttxpx),(),(xt右边分布积分再代入边界条件：0),(),(),(22dxxtxpDxtxpDxdxxtxpxD=0100xt由于在t=0时，粒子在原点处，从而粒子位置的平均值是不随时间变化的。0)0()(xtx╳x2，再积分。),(),(2txpDttxpDtxt2)(2Dttx2)(2该结果与Brown运动方程完全一致，说明Brown运动或RW模型的随机行走就是描述了扩散的物理过程。0)0(x11pro=0.5doi=1,nwalkx=0.0d0doj=1,nstepcallrandomnum()if(rand.lt.pro)thenx=x+1.0elsex=x-1.0endifwrite(10,'(I15,F15.6)')j,xsumx(j)=sumx(j)+xsumx2(j)=sumx2(j)+x*xenddoenddodoi=1,nstepwrite(11,'(I15,2F15.6)')$i,sumx(i)/dble(nwalk),sumx2(i)/dble(nwalk)enddo1213若泊松方程及其边界条件为四蒙特卡罗方法求解泊松方程)(),(2222sFyxqyxΓ为求解区域D的边界，s为边界Γ上的点。)(410243210qh其中，q0是在区域D的正则内点0上的函数q(x,y)的值。正方形格点划分等步长h14)(410243210qh其中，1/4可以解释为概率。即有：0241,004qhWijj4,3,2,1,41,1,041,0jWWjij随机游走的判据：(0)选定一个[0,1]区间的均匀分布的随机数ξ，(1)若满足条件ξ≤1/4，则选定下一个游走到达点为第1点；(2)若满足条件1/4<ξ≤1/2，选游走到的下一个点为2点；(3)若满足条件1/2<ξ≤3/4，选定游走到下一个点为3点；(4)ξ在其他的情况下，我们则选游走到第4点。15)(410243210qh从m点上又按判据选择周围四个点中的n点时...