二阶常系数线性齐次微分方程VIP专享VIP免费

第四节二阶常系数线性齐次微分方程)(xfCyyByA方程0)(xf若为二阶常系数线性微分方程其中、、是已知常数,且ABC0A0CyyByA为二阶常系数线性齐次微分方程下面介绍方程解的结构.0CyyByA证明2211yCyCy2211yCyCy也是的解，其中、为任意常数1C2C定理5-1若函数、是方程的两个解，则)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy0CyyByA0CyyByA把、代入方程的左边，得yy0CyyByA)()()(221122112211yCyCCyCyCByCyCA22221111)()(yCyByACCyyByAC、线性无关，是指不存在不全为零的常数、,使,即)(1xy)(2xy1k2k0)()(2211xykxyk)()(12xyxy常数否则称、线性相关．)(1xy)(2xy定理5-2若函数、是方程的两个线性无关的特解，则)(1xy)(2xy是方程的通解,其中、为任意常数0CyyByA0CyyByA)()(2211xyCxyCy1C2C00021CC,xey设将其代入以上方程,得0)(2xeCBA,0xe故有02CBA特征方程AACBB2422,1特征根由定理5-2,求方程的通解的关键是先要求出它的两个线性无关的特解.0CyyByA由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数仍为指数函数,故我们可假设方程有形如的解.xey的解法0CyyByA,11xeyxey22方程有两个线性无关的特解所以方程的通解为xxeCeCy2121,2421AACBBAACBB2422特征根为(１)当,特征方程有两相异实根042ACB根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论(2)当,方程有两个相等的实根042ACB12)(yxuy设另一特解为xey11,221AB一特解为特征根为xxexuexuy11)()(12xxxexuexuexuy111)()(2)(2112若是原方程的解,应有)(2xy0222CyyByA所以方程的通解为xexCCy1)(21,)(xxu取xxey12则222yyy，，将代入以上方程,得0)()2(1111211xxxCueeuuBeuuuA因,故01xe0)()2(1211CBAuBAuA000uA所以0)(xuxCCxu~2~1)(,)(1xieyxiey)(2,1ii2特征根为(3)当,方程有一对共轭复根042ACB利用欧拉公式sincosiei可将和改写成如下形式1y2y)sin(cos)(1xixeeeeyxxixxi)sin(cos)(2xixeeeeyxxixxi重新组合)(2121*1yyy,cosxex)(2121*2yyiy,sinxex得方程的通解为).sincos(21xCxCeyx不难看出和线性无关*1y*2y求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,按下表写出方程的通解.通解0CyyByA的根02CBA21不相等实数根21相等实数根i、i21共轭复数根).sincos(21xCxCeyxxexCCy1)(21xxeCeCy2121(4)若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件代入通解中,即可确定、,从而获得满足初始条件的特解.1C2C例5-13求下列方程的通解034)1(yyy0222)2(yyy032)3(yyy解(1)特征方程为0342rr所以方程的通解为为任意常数21231C,CeCeCyxx1,321rr解得为任意常数21221C,CexCCyx所以方程的通解为221rr解得(2)特征方程为02222rr所以方程的通解为(3)特征方程为0322rr解得ir212,1为任意常数2121,2sin2cosCCxCxCeyx解特征方程为0542即0)5)(1(特征方程有两个不相等的实数根5,121xxeCeCy521所以所求方程的通解为对上式求导,得xxeCeCy5215例5-14求方程满足初始条件054yyy、的特解.1)0(y2)0(y将、代入以上二式,得1)0(y2)0(y2121521CCCC解此方程组，得21,2121CC所以所求特解为xxeey52121解特征...