§2-10应力函数—常体积力一.常体力情况下的简化当体力为常量时,(2-21)容简化为:0))((2222yxxy0,0yfxfyx))(1())((2222yfxfxyyxyx)(11))((2222yfxfxyyxyx——(2-21a)21,cfcfyx——(2-21b)22222yx若令—拉普拉斯算子0)(2yx(2—22)注意:在常体力情况下,(2-2)平、(2-22)容和(2-15)边中都不包含弹性常数,而且对于两种平面问题都是相同的。因此,在单连体的应力边界问题中,如果两个弹性体满足:a.相同的边界形状,b.受同样分布的外力,则不管两个弹性体的材料是否相同,也不管是在平面应力还是平面应变情况下,应力分量的分布都是相同的。xyyx,,应用:a.用实验方法量测结构的应力分量时;b.平面应力情况下的薄板模型代替平面应变情况下的长柱形结构。c.在常体力情况下,对于单连体的应力边0))((002222yxyyxyxxyxxyfyxfyx界问题,还可以把体力的作用改换为面力的作用,以便解答问题和实验量测。设原问题中应力分量满足:xyyx,,(a)ysysxyxsxysxfmlfml)()()()((b)xyxyyyyxxxyfxf0))((0,02222yxyxyxyxxyyxyxymffmlxlffmlyysysxyxxsxysx)()()()((c)(d)比较(a),(b),(c),(d),得到满足:体力为零的平衡微分方程和面力分量分别增加了和的应力边界条件。xyyx,,xlfxymfy于是得到求解原问题的办法:先不计体力,而对弹性体施加代替体力的面力分量和,求出以后,再在和上叠加上和,即得原问题的应力分量。xlffxxymffyyxyyx,,xyxfxyfy例如:如图所示深梁在重力作用下的应力分析(p为深梁的容重)。先不计体力,而施以代替体力的面力。pffyx0mpyymffxlffyyxx0xyyx,,xyxyyyyyxxxxpyyfxfCABDEFhhCABDEF2phphxyxyp二.应力函数为非齐次偏微分方程组结论:当体力为常量时,按应力求解平面应力(应变)问题,可归结为根据(2-2)平及(2-22)容求出应力分量{},并要求在边界上满足应力边界条件(2-15)边及位移单值条件。研究(2-2)平及(2-22)容的求解00yyxyxxyxfyxfyx0)(2yx(2—22)1.对应的齐次偏微分方程的通解所以,必存在一个具有全微分的函数A(x,y)根据微分方程解的理论,(2—2)平的解由两部分组成:通解及其一个特解。由第一式有xyxxy)(全微分充要条件yFQxFPQdyPdxdF,,若有0yxxyx0yxyxyxQyP则有QdyPdxdFxQyP,必有反之,若由第二式有:yxyxy)(xyxAPxy),(1(a)yyxAQx),(1(b)yyxBQxy),(2(d)xyxBPy),(2(c)同理:根据全微分充要条件,同样存在另一个函数B(x,y)比较(a)(d)两式yyxBxyxA),(),(xBPyAQ对应的齐次偏微分方程的通解:yxxyxyyx22222;;Φ—平面应力函数(Airy应力函数)同理可以找到一个函数Φ(x,y),有xyxyxyxAxy),(yyxAx),(yyxBxy),(xyxBy),(2.非齐次方程特解3.平衡方程的解0;;***xyyyxxyfxfyxyfxxfyxyyyxx22222(2-23)xyxyxyyyyxxx***00yyxyxxyxfyxfyx将(2-23)代入(2-22)容0))((22222222xyxy0))((2222yxxy(2-22)容可记为...