弹性力学简明教程第二章 2.10VIP专享VIP免费

§2-10应力函数—常体积力一.常体力情况下的简化当体力为常量时，（2-21）容简化为：0))((2222yxxy0,0yfxfyx))(1())((2222yfxfxyyxyx)(11))((2222yfxfxyyxyx——(2-21a)21,cfcfyx——(2-21b)22222yx若令—拉普拉斯算子0)(2yx（2—22）注意:在常体力情况下,(2-2)平、(2-22)容和(2-15)边中都不包含弹性常数，而且对于两种平面问题都是相同的。因此，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体满足：a.相同的边界形状，b.受同样分布的外力，则不管两个弹性体的材料是否相同，也不管是在平面应力还是平面应变情况下，应力分量的分布都是相同的。xyyx,,应用：a.用实验方法量测结构的应力分量时；b.平面应力情况下的薄板模型代替平面应变情况下的长柱形结构。c.在常体力情况下，对于单连体的应力边0))((002222yxyyxyxxyxxyfyxfyx界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便解答问题和实验量测。设原问题中应力分量满足：xyyx,,(a)ysysxyxsxysxfmlfml)()()()((b)xyxyyyyxxxyfxf0))((0,02222yxyxyxyxxyyxyxymffmlxlffmlyysysxyxxsxysx)()()()((c)(d)比较(a),(b),(c),(d)，得到满足：体力为零的平衡微分方程和面力分量分别增加了和的应力边界条件。xyyx,,xlfxymfy于是得到求解原问题的办法：先不计体力，而对弹性体施加代替体力的面力分量和，求出以后，再在和上叠加上和，即得原问题的应力分量。xlffxxymffyyxyyx,,xyxfxyfy例如：如图所示深梁在重力作用下的应力分析(p为深梁的容重)。先不计体力，而施以代替体力的面力。pffyx0mpyymffxlffyyxx0xyyx,,xyxyyyyyxxxxpyyfxfCABDEFhhCABDEF2phphxyxyp二.应力函数为非齐次偏微分方程组结论：当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-2）平及（2-22）容求出应力分量{},并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边及位移单值条件。研究（2-2）平及（2-22）容的求解00yyxyxxyxfyxfyx0)(2yx（2—22）1.对应的齐次偏微分方程的通解所以,必存在一个具有全微分的函数A(x，y)根据微分方程解的理论，(2—2）平的解由两部分组成：通解及其一个特解。由第一式有xyxxy)(全微分充要条件yFQxFPQdyPdxdF,,若有0yxxyx0yxyxyxQyP则有QdyPdxdFxQyP，必有反之，若由第二式有：yxyxy)(xyxAPxy),(1（a）yyxAQx),(1（b）yyxBQxy),(2(d)xyxBPy),(2（c）同理：根据全微分充要条件，同样存在另一个函数B(x，y)比较（a）（d）两式yyxBxyxA),(),(xBPyAQ对应的齐次偏微分方程的通解：yxxyxyyx22222;;Φ—平面应力函数（Airy应力函数）同理可以找到一个函数Φ(x，y)，有xyxyxyxAxy),(yyxAx),(yyxBxy),(xyxBy),(2.非齐次方程特解3.平衡方程的解0;;***xyyyxxyfxfyxyfxxfyxyyyxx22222（2-23）xyxyxyyyyxxx***00yyxyxxyxfyxfyx将（2-23）代入（2-22）容0))((22222222xyxy0))((2222yxxy（2-22）容可记为...