高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义备课资料新人教A版必修4一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有(1)λ(μa)=(λμ)a;①(2)(λ+μ)a=λa+μa;②(3)λ(a+b)=λa+λb.③证明：(1)如果λ=0或μ=0或a=0,则①式显然成立.如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,则根据向量数乘的定义,有|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.如果λ、μ同号,则①式两边向量的方向都与a同向;如果λ、μ异号,则①式两边向量的方向都与a反向.因此,向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.(2)如果λ=0或μ=0或a=0,则②显然成立.如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下两种情况:当λ、μ同号时,则λa和μa同向,所以|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.由λ、μ同号,知②式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即②式两边向量的方向相同.综上所述,②式成立.如果λ、μ异号,当λ>μ时,②式两边向量的方向都与λa的方向相同;当λ<μ时,②式两边向量的方向都与μa的方向相同.还可证|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.(3)当a=0,b=0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1时,③式显然成立.图13当a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1时,可分如下两种情况:当λ>0且λ≠1时如图13,在平面内任取一点O作=a,=b,=λa,=λb,则=a+b,=λa+λb.由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1,||=λ||.1所以|==λ.所以△AOB∽△A1OB1.所以=λ,∠AOB=∠A1OB1.图14因此O、B、B1在同一条直线上,||=|λ|,与λ的方向也相同.所以λ(a+b)=λa+λb.当λ<0时,由图14可类似证明λ(a+b)=λa+λb.所以③式也成立.二、备用习题1.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于（）A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b2.设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线,则k的值为（）A.1B.-1C.±1D.03.若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量x等于（）A.aB.-6aC.6aD.a4.在△ABC=,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则用a、b表示的形式是=_________.5.在△ABC,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O是△ABC平面上的任意一点,若+=e1-e2,则=________.6.已知△ABC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,求证:=(a+b+c).7.对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法:解:∵a=-2e,b=-2e,∴b=-a.∴a与b共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.参考答案:1.B2.C3.C4.-a+b5.e1-e2.26.连接AG并延长,设AG交于M.∵=b-a,=c-a,=c-b,∴=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a).∴==(c+b-2a).∴=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e=0,而当e=0时,显然,a=0,b=0,此时,a不符合定理中的条件,且使b=λa成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b=λa成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥.综上分析,此题应解答如下:解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a与b共线.(2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0,∴b=-a〔这时满足定理中的a≠0,及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa成立〕.∴a与b共线.综合(1)(2),可知a与b共线.(设计者：沈献宏)3
