2.2.3向量数乘运算及其几何意义(讲)一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。二、教学目标设计1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。三、教学重点与难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。四、教学用具准备多媒体、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计1．设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系Fma=，位移与速度的关系svt=。这些公式都是实数与向量间的关系。师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出aaa++和()()()aaa-+-+-向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：aaa++的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，()()()aaa-+-+-的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）2．探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3333335++++=´的解释，类比规定：实数λ与向量a的积就是λa，1向量平行的充要条件情境设置引入定义数乘向量的运算律运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)它还是一个向量，但要对实数λ与向量a相乘的含义作一番解释才行。实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：（1）||||||λaλa=.（2）0λ>时，λa的方向与a的方向相同；当0λ<时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当0λ=或0a=时，0λa=.2）运算律：问：求作向量2(3)a和6a（a为非零向量）并进行比较，向量2()ab+与向量22ab+相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：2(3)6aa=，222()abab+=+.师：设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()λμaλaμa+=+；（2）()()λμaλμa=；（3）()λabλaλb+=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。小练习1：计算：（1）(3)4a-´；（2）3()2()ababa+---；（3）(23)(32)abcabc+---+.3）向量平行的充要条件：请同学们观察amn=-��，22bmn=-+��，回答a、b有何关系？生：因为2ba=-，所以a、b是平行向量.引导：若a、b是平行向量，能否得出bλa=？为什么？可得出aλb=吗？为什么？生：可以！因为a、b平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充要条件：向量b与非零向量a平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得bλa=.对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数λ，使bλa=，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知λb与a平行，即b与a平行.2其二，若b与a平行，且不妨令0a¹，设||||bμa=（这是实数概念）．接下来看a、b方向如何：①a、b同向，则bμa=，②若a、b反向，则记bμa=-，总而言之，存在实数λ（λμ=或λμ=-）...
