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高中数学 第1章 立体几何初步 6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质(教师用书)教案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学教案VIP免费

高中数学 第1章 立体几何初步 6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质(教师用书)教案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学教案_第1页
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高中数学 第1章 立体几何初步 6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质(教师用书)教案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学教案_第3页
6.2垂直关系的性质学习目标核心素养1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)1.通过学习直线与平面、平面与平面垂直的性质定理提升数学抽象、直观想象素养.2.通过应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题,培养逻辑推理素养.1.直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.(2)符号语言:l⊥α,m⊥α⇒l∥m.(3)图形语言:如图所示.(4)作用:证明两直线平行.思考1:过一点有几条直线与已知平面垂直?提示:一条.2.平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(2)符号语言:α⊥β,α∩β=m,lβ,l⊥m⇒l⊥α.(3)图形语言:如图所示.(4)作用:证明直线与平面垂直.思考2:若α⊥β,则α内的直线与β内的直线有什么位置关系?提示:平行、相交、异面.思考3:若α⊥β,则α内的直线是否都与β内的直线垂直?提示:不是.1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1D1D.A1AB[可证BD⊥平面AA1C1C,而CE平面AA1C1C,故BD⊥CE.]2.若平面α⊥β,直线a∥α,则()A.a⊥βB.a∥β或aβC.a与β相交D.aβ或a∥β或a与β相交D[a与β三种位置关系都有可能.]3.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或平行B[圆柱的母线垂直于圆柱的底面,由线面垂直的性质知B正确.]4.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线[答案]B线面垂直的性质【例1】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1.[证明]因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.证明线线平行常用如下方法:1利用线线平行的定义:证共面且无公共点;2利用平行公理:证两线同时平行于第三条直线;3利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;4利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;5利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.[跟进训练]1.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线aβ,a⊥AB.求证:a∥l.[证明]因为EA⊥α,α∩β=l,即lα,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β,aβ,所以EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB,因此,a∥l.面面垂直性质的应用【例2】如图,已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC.[证明]如图,在平面PAC内作AD⊥PC于点D, 平面PAC⊥平面PBC,AD平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,且AD⊥PC,∴AD⊥平面PBC,又BC平面PBC,∴AD⊥BC. PA⊥平面ABC.BC平面ABC,∴PA⊥BC, AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,又AC平面PAC,∴BC⊥AC.1.面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常找交线的垂线,这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2.证明线面垂直主要有两种方法,一种是利用线面垂直的判定定理,另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意:(1)两个平面垂直;(2)直线在一个平面内;(3)直线垂直于交线.以上三点缺一不可.[跟进训练]2.如图,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.[证明] 平面VAB⊥平面ABCD,且BC⊥AB,平面VAB∩平面ABCD=AB,BC平面ABCD,∴BC⊥平面VAB, VA平面VAB,∴BC⊥VA,又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA,又VB∩BC=B,∴V...

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