6.2垂直关系的性质学习目标核心素养1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点)2．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化．(难点、易错点)3．能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题．(难点)1.通过学习直线与平面、平面与平面垂直的性质定理提升数学抽象、直观想象素养．2．通过应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题，培养逻辑推理素养.1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．(2)符号语言：l⊥α，m⊥α⇒l∥m.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．思考1：过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：一条．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明直线与平面垂直．思考2：若α⊥β，则α内的直线与β内的直线有什么位置关系？提示：平行、相交、异面．思考3：若α⊥β，则α内的直线是否都与β内的直线垂直？提示：不是．1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1D1D．A1AB[可证BD⊥平面AA1C1C，而CE平面AA1C1C，故BD⊥CE.]2．若平面α⊥β，直线a∥α，则()A．a⊥βB．a∥β或aβC．a与β相交D．aβ或a∥β或a与β相交D[a与β三种位置关系都有可能．]3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行B[圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]4．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线[答案]B线面垂直的性质【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.证明线线平行常用如下方法：1利用线线平行的定义：证共面且无公共点；2利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.[跟进训练]1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.面面垂直性质的应用【例2】如图，已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.[证明]如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D， 平面PAC⊥平面PBC，AD平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴AD⊥BC. PA⊥平面ABC.BC平面ABC，∴PA⊥BC， AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC平面PAC，∴BC⊥AC.1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．[跟进训练]2．如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明] 平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，∴BC⊥平面VAB， VA平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴V...
VIP
