1.3.1空间几何体的表面积学习目标核心素养1.了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征．(重点)2.了解柱、锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式)．(易错点)3.会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积．(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的直观想象、数学运算核心素养.1．几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．2．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积几何体直观图侧面展开图侧面积直(正)棱柱S直(正)棱柱侧＝ch正棱锥S正棱锥侧＝ch′正棱台S正棱台侧＝(c＋c′)h′圆柱S圆柱侧＝cl＝2πrl圆锥S圆锥侧＝cl＝πrl圆台S圆台侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？提示：S圆柱侧＝2πrl――→S圆台侧＝π(r′＋r)l――→S圆锥侧＝πrl.1.思考辨析(1)棱长都相等的长方体是正方体．()(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱．()(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱．()(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为________．a2[如图，在正三棱锥SABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝＝a，所以侧面积S＝3××a×a＝a2.]3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于__________．2π[以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.]4．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为__________．6π[S＝2π×1×2＋2π×12＝6π.]棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积【例1】正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．思路探究：由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．[解]如图，设PO＝3，PE是斜高， S侧＝2S底，∴4··BC·PE＝2BC2.∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE.∴9＋＝PE2，∴PE＝2.∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12.S侧＝2S底＝2×12＝24.∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．[解]如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.又A′B′＝20cm，AB＝30cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，所以DD′＝(cm)，又因为O′D′＝×20＝(cm)，OD＝×30＝5(cm)，所以棱台的高h＝O′O＝＝＝4(cm).圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积【例2】已知圆锥的底面半径为R，高为3R.若它的内接圆柱的底面半径为R，求该圆柱的全面积．思路探究：作出轴截面，转化为平面问题，利用比例关系找出高与半径的函数关系．[解]设圆柱底面半径为r，高为h，由题意知r＝R，∴＝，∴h＝R，∴S圆柱全＝2πr2＋2πrh＝2π＋2π＝πR2.1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．2.解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．2．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？[解]如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40...
