§7简单几何体的再认识7．1柱、锥、台的侧面展开与面积学习目标核心素养1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来．2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．(重点)3．掌握简单组合体侧面积和表面积的计算．(难点)1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，提升直观想象素养．2．通过对简单几何体侧面积的计算，培养数学运算素养.1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧＝2πrlr为底面半径l为侧面母线长圆锥S圆锥侧＝πrlr为底面半径l为侧面母线长圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)lr1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝chc为底面周长h为高正棱锥S正棱锥侧＝ch′c为底面周长h′为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧＝(c＋c′)h′c′为上底面周长c为下底面周长h′为斜高，即侧面等腰梯形的高思考1：怎样计算柱、锥、台的表面积？提示：柱、锥、台的表面积S表等于该几何体的侧面积S侧与底面积S底的和，即S表＝S侧＋S底．思考2：求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．4∶1B[S1＝2π·1·2＝4π，S2＝2π·2·1＝4π，∴S1＝S2.]2．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是()A．2B．2.5C．5D．10C[S侧＝π(r1＋r2)l＝2(πr＋πr)，∴l＝＝5.]3．已知正三棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的体积为________．3[ 正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，∴底面的正三角形的面积为：S＝×6×＝9，故底面的正三角形高为3，其外接圆半径为2，∴三棱锥的高为h＝＝，∴体积为V＝×9×＝3.]4．若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为________．9a2[正六棱柱的底面边长为a，所以正六棱柱的底面面积为S底＝，又侧面对角线的长为2a，所以侧棱长为a，则该正六棱柱的表面积为S表＝2S底＋S侧＝2×＋6a×a＝9a2.]圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积【例1】如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．[解]以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4cm，下底半径是16cm，母线DC＝＝13(cm)，∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键．2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积．[跟进训练]1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．4πSB．2πSC．πSD.πSA[设底面半径为r，则S＝πr2，则r＝，所以底面周长为2πr＝2π，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr＝2·π，∴S侧＝2πr·l＝(2πr)2＝4π2·r2＝4π22＝4πS.]直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积【例2】正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．[思路探究]在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积．[解]设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′.因为S侧＝2S底，所以×3a×h′＝a2×2，所以a＝h′.因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2，所以32＋2＝h′2，所以h′＝2，所以a＝h′＝6，所以S底＝a2＝×62＝9，所以S侧＝2S底＝18，则S表＝S侧＋S底＝27.1．正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单．2．多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和．对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要...
