7．2柱、锥、台的体积学习目标核心素养1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式．(重点)2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积．(难点)1.通过柱、锥、台的体积公式的学习提升直观想象素养.2.通过运用体积公式求多面体、旋转体的体积，提升数学运算素养.柱、锥、台的体积几何体体积说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝(S上＋＋S下)·hS上，S下分别为台体的上、下底面积，h为高思考：根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？提示：台体的体积公式为V台体＝(S′＋＋S)h.当S′＝S时，得柱体的体积公式V柱体＝Sh；当S′＝0时，得锥体的体积公式V锥体＝Sh.1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.πB．2πC.πD.πD[由已知，圆台上、下底面半径分别为1和2，又S圆台侧＝π(1＋2)l＝6π，∴l＝2，∴高h＝＝，∴V＝××(12＋22＋1×2)＝π.]2．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转一周所得几何体的体积为()A．12πB．16πC．20πD．24πB[旋转后的几何体为以AC＝4为底面半径，以3为高的圆锥，V＝πr2h＝π×42×3＝16π.]3．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝________.[由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，则V＝3×＝3，所以a＝.]4．高为3的三棱锥PABC底面是边长为1的正三角形，则三棱锥PABC的体积为________．[由已知三棱锥PABC的底面面积S＝××1＝，∴VPABC＝××3＝.]柱体的体积问题【例1】已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2cm2,2cm2，侧棱长为2cm，求其体积．[解]如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为xcm，ycm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有解得底面菱形的面积S＝xy＝(cm2)，所以该棱柱的体积为V＝Sh＝×2＝(cm3)．求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理.熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键.[跟进训练]1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解]设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有由①得r＝a，由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.锥体的体积问题【例2】如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD的体积．[解]因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan30°＝1.可得PH＝＝，等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.三棱锥的任一个面都可作为三棱锥的底面.求体积时，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可.[跟进训练]2．如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为________．[三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.]3．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C．2πD．4πB[绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××π×()2×＝.]台体的体积问题【例3】如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[思路探究]求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径，代入公式求解．[解]设上、下底面半径分别为r，R. A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，∴R－r＝，BD＝A1D·tan60°＝3，∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3，∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.1．求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地，棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台，...
