第1课立体几何初步[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]由三视图求几何体的表面积与体积【例1】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B.C.D．2C[根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝.]1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．[跟进训练]1．一个几何体的三视图如图所示，其中左视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．8π[由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V＝×π×23×＝8π.]c【例2】如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．[解](1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，得BC1∥D1O，所以＝，又由题可知＝，＝1，所以＝1，即＝1.1．证明线线平行的依据(1)平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理．2．证明线面平行的依据(1)定义；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理．3．证明面面平行的依据(1)定义；(2)面面平行的判定定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)面面平行的传递性．[跟进训练]2.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H为BC的中点，求证：FH∥平面EDB.[证明]连接AC交BD于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH， H为BC的中点，∴GH綊AB.又EF綊AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH， EG平面EDB，FH平面EDB，∴FH∥平面EDB.垂直关系的判定和性质【例3】如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[证明](1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1．两条异面直线相互垂直的证明方法(1)定义；(2)线面垂直的性质定理．2．直线和平面垂直的证明方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理．3．平面和平面相互垂直的证明方法(1)定义；(2)面面垂直的判定定理．[跟进训练]3．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．[解](1)证明：由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D. AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下． C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.易知A1B1＝， AA1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.截面问题【例...
