11函数值域求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。111例1求函数y1=1的值域1111解：1x1≠01，11≠011显然函数的值域是：（-∞，01）∪（01，+∞）。111例21求函数y1=131-的值域。111解：1≥01-≤013-≤3故函数的值域是：[1-∞，31]121、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。11例1、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。111解：将函数配方得：y=（x-1）+4，11x1[-1，2]，1由二次函数的性质可知：1当x1=11时，y=141当x1=1-11，时1=181故函数的值域是：[141，81]11例2、求函数的值域。解：=，所以，故所求函数值域为[，+∞]。例3、求。解：………所以当时，有最小值-2。故所求函数值域为[-2，+∞）。131、判别式法11111例1求函数y1=1的值域。11111解：原函数化为关x的一元二次方程（y-11)+（y1-111）x=101（1）当y≠1时，1xR1,△1=1(-1)-4(y-1)(y-1)1≥011解得：≤y≤（2）当y=1，时，x1=10,而1[1,1]故函数的值域为[，]111例2求函数y=x+的值域。解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0111（1）1xR，△=4（y+1）-8y≥0解得：1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。1由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。20≤x≤2，y=x+2≥0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例1求函数y=值域。2解：由原函数式可得：x2=2则其反函数为：y2=22其定义域为：x2≠故所求函数的值域为：（-2∞，）222222252、函数有界性法22222222直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。22222222例1求函数y2=2的值域。22222222解：由原函数式可得：=222222＞0，＞022解得：-21＜y＜1。222222故所求函数的值域为(2-212,212)2.222222222例2求函数y2=22的值域。2222222解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y222222可化为：2sinx（x+β）=3y即sinx（x+β）= x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1222222解得：-≤y≤故函数的值域为[-，]。222222262、函数单调性法23333333例1求函数y3=33（2≤x≤10）的值域3333333解：令y=3，=3，则3y，3在[32，3103]上都是增函数。333所以y=y+在[323，103]上是增函数。3当x3=323时，y=3+=33当x3=3103时，3=+=33。3故所求函数的值域为：[3，33]。3例2求函数y=3-的值域。3333333解：原函数可化为：y=33333令y=3，=，显然y3，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y+在[1，+∞）上也为无上界的增函数。33333333333所以当x3=31时，y=y+有最小值，原函数有最大值=3。33333显然y＞0，故原函数的值域为(303,3]。33337、换元法3333333通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例1、求函数的值域。解：由，得。令得，于是，因为，所以。故所求函数值域为[-∞，]。例2、求函数的值域。解：设，则。所以，故所求函数值域为。3333333例3求函数y3=3x3+3的值域。3333333解：令x-1=t，（t≥0）则x=+1334444 y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知4444当t=0时，y=41，4当t4→0时，y4→+∞。444故函数的值域为[414，+∞）。444444例4求函数y4=x+2+的值域44444解：因1-≥04，即≤1444故可令x+1=cosβ，β∈[404，∏]4。444∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1444444444444444444444=sin（β+∏/444）+1444 0≤β≤∏，04≤β+∏/4≤5∏/44444∴-4≤sin（β+∏/4）≤14444∴04≤sin（β+∏/4）+1≤1+。4444444444故所求函数的值域为[0，1+]。444444例5求函数y=的值域444444解：原函数可变形为：y=-44444444可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β444∴y...
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