高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质教案2 湘教版选修1-1-湘教版高一选修1-1数学教案VIP免费

第二课时椭圆的简单几何性质教学目标1、进一步掌握椭圆的几何性质2、理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率的几何意义。3、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法。4、培养分析问题和解决问题的能力教学过程1、复习回顾前一节学习了椭圆的几何性质，大家回忆一下：⑴椭圆的几何性质的内容是什么？椭圆16x2＋9y2＝144中x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，顶点及焦点坐标。－3≤x≤3，－4≤y≤4，长轴长2a＝8，短轴长2b＝6，离心率47e，顶点坐标(0,－4),(0,4),(－3,0),(3,0)，焦点坐标)7,0(),7,0(注意：椭圆的焦点一定在椭圆的长轴上。⑵什么叫做椭圆的离心率？e＝c/a离心率的几何意义是什么呢？我们先来看一个问题：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x＝a2/c的距离的比是常数e=c/a(a＞c＞0)，求点M的轨迹。2、探索研究(按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师书写)解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合},|||{acdMFMP由此得acxcaycx||)(222将上式两边平方，并化简，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)设a2－c2＝b2,就可化成x2/a2＋y2/b2＝1，这是椭圆方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a，长轴长为2b，焦点在x轴上的椭圆。小结：⑴椭圆的第二定义：当点M与定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e=c/a(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。⑵对于椭圆x2/a2＋y2/b2＝1，相应于焦点F2(c,0)的准线方程是l：x＝a2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(－c,0)的准线方程是l：x＝－a2/c；对于椭圆x2/b2＋y2/a2＝1，相应于焦点F2(0,c)的准线方程是l：y＝a2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(0,－c)的准线方程是l：y＝－a2/c。1⑶离心率的几何意义是：椭圆上的点M与焦点F和它到准线l(与焦点F相对应的准线)的距离的比。指导学生归纳知识一览表（见几何画板）3、反思应用例1求椭圆4x2＋y2＝1的x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，焦点与顶点坐标，准线方程。分析：－1/2≤x≤1/2,－1≤y≤1，2a＝2，2b＝1，顶点(0,±1),(±1/2,0),焦点)23,0(F，23e，准线方程332y例2已知椭圆x2/100＋y2/36＝1上一点P到其左、右焦点距离的比为1∶3，求点P到两条准线的距离。分析：由椭圆标准方程可知a＝10，b＝6，∴c＝8，e＝c/a＝4/5。∵|PF1|＋|PF2|＝20，|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝5，|PF2|＝15设点P到左准线的距离为d1,点P到右准线的距离为d2,根据椭圆的第二定义，有54||||2211dPFdPF∴d1＝|PF1|/e＝25/4，d2＝75/4。变：⑴已知椭圆x2/100＋y2/36＝1上一点)33,5(P，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，求|PF1|、|PF2|。分析：由椭圆标准方程可知a＝10，b＝6，∴c＝8，e＝c/a＝4/5，左准线方程x＝－25/2，右准线方程x＝25/2，设点P到左准线的距离为d1,点P到右准线的距离为d2,则d1＝5－（－25/2）＝35/2，d2＝5－25/2＝15/2，∴|PF1|＝ed1＝14，|PF2|＝6。小结：点P(x0,y0)是椭圆x2/a2＋y2/b2＝1上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1,点P到右准线的距离为d2，则d1＝a2/c＋x0,d2＝a2/c－x0,|PF1|＝ed1＝a＋ex0，|PF1|＝ed2＝a－ex0。⑵已知椭圆x2/100＋y2/36＝1内有一点P(2，－3),F2为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使||45||2MFMP的值最小，求点M的坐标。分析：设M在右准线l上的射影为M1，由椭圆标准方程可知a＝10,b＝6,∴c＝8,e＝c/a＝4/5,由椭圆第二定义，有|MF2|/|MM1|=4/5,即|MF2|＝4|MM1|/5∴|MP|＋|MF2|＝|MP|＋|MM1|，当M、P、M1三点共线时，|MP|＋|MM1|有最小值。2过P作右准线的垂线y＝－3，由方程组136100322yxy，解得)3,35(M例3求中心在原点，长轴在x轴上，一条准线方程是x＝3，离心率为3/5的椭圆方程。解：设椭圆方程为)0(12222babyax，根据题意有3352caac解得352,35,522cabca，∴所求椭圆方程是1920522yx4、归纳总结数学思想：数形结合、分类讨论、类比的思想、特殊到一般数学方法：图象法、公式法、待定系数法、知识点：范围、顶点、对称性、离心率、椭圆第二定义、焦半径acxcaycxbacbabyaxaycxycx||)(),0(12)()(222222222222225、作业P103习题8.28、9、10预习：⑴曲线参数方程的定义是什么？⑵在椭圆的参数方程中，常数a、b的几何意义是什么？⑶椭圆的参数方程化为普通方程的关键是什么？3