2.2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，发展学生数学抽象和数学运算素养.2.通过向量共线判断的学习，培养了学生逻辑推理素养.1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.1．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()A．b＝2aB．b＝－2aC．a＝2bD．a＝－2bA[因a，b方向相同，故b＝2a.]2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()A.AB＝3BCB.AC＝2BCC.AC＝BCD.AC＝2CBD[由题意可知：AB＝－3BC；AC＝－2BC＝2CB.故只有D正确．]3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________.－2a＋8b[原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b.]4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.2[由向量加法的平行四边形法则知AB＋AD＝AC.又 O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO，∴λ＝2.]向量的线性运算【例1】(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.(2)化简下列各式：①3(6a＋b)－9；②－2；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.(1)4b－3a[由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.](2)[解]①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．[跟进训练]1．(1)化简；(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.[解](1)原式＝＝＝＝a－b.(2)由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.向量共线定理[探究问题]1．如何证明向量a与b共线？提示：要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可．2．如何证明A，B，C三点在同一直线上？提示：要证三点A，B，C共线，只需证明AB与BC或AB与AC共线即可．【例2】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP＝xOA＋yOB，求x＋y的值．思路点拨：(1)→→(2)→→→[解](1)证明： CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，∴BD＝CD－CB＝e1－4e2.又AB＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴AB＝2BD，∴AB∥BD. AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量AB，AP在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP＝λAB，即OP－OA＝λ(OB－OA)，所以OP＝(1－λ)OA＋λOB，故x＝1－λ，y＝...
