3.1.2两角和与差的正弦学习目标核心素养1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2．能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)1．通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2．借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1．两角和与差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.2．辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝，sinθ＝.思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？[提示]对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．1．cos17°sin13°＋sin17°cos13°的值为()A．B．C．D．以上都不对A[原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝.]2．函数y＝sinx－cosx的最小正周期是()A．B．πC．2πD．4πC[y＝sinx－cosx＝＝sin，∴函数的最小正周期为T＝2π.]3．已知α为锐角，sinα＝，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－，则sin(α＋β)＝________.0[ α为锐角，且sinα＝，∴cosα＝.又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cosβ＝－，∴cosβ＝，sinβ＝－.∴sin(α＋β)＝×＋×＝0.]利用公式化简求值【例1】(1)＝()A．－B．－C．D．(2)求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．[思路探究](1)化简求值应注意公式的逆用．(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．(1)C[＝＝＝＝sin30°＝.](2)解：原式＝sin(180°－23°)cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)·cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．1．化简下列各式：(1)sin＋2sin－cos；(2)－2cos(α＋β)．[解](1)原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx＝sinx＋cosx＝0.(2)原式＝＝＝＝.给值(式)求值【例2】设α∈，β∈，若cosα＝－，sinβ＝－，求sin(α＋β)的值．[思路探究]应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解]因为α∈，cosα＝－，所以sinα＝，因为β∈，sinβ＝－，所以cosβ＝.所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.1．(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．[解]sin(α－β)＋cos(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1.2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？[解]因为α∈，cosα＝－，所以sinα＝.因为β为第三象限，所以cosβ＝－.所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－＋＝0.1．当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．辅助角公式的应用[探究问题]1.函数y＝sinx＋cosx(x∈Z)的最大值为2...
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