第2课时离散型随机变量的方差学习目标核心素养1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(重点)2．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．(重点)3．会用方差解决一些实际问题．(难点)1．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养．2．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学运算的素养.山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示．甲的环数8910P0.20.60.2乙的环数8910P0.30.40.3问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分析，你认为派谁参加全运会更好一些？1．离散型随机变量的方差与标准差(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn则D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝∑[xi－E(X)]2pi，称为离散型随机变量X的方差；称为离散型随机变量X的标准差．(2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)．(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)．2．两点分布及二项分布的方差(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(2)若随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．思考：两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系．[提示]由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，取n＝1，则D(X)＝p(1－p)就是两点分布的方差．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值．()(2)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．()(3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平．()(4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为()A．2B．3C．4D．5C[因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.]3．若随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________.1[ ξ～B，∴D(ξ)＝4××＝1.]4．已知随机变量X的分布列为X135P0.40.10.5则X的标准差为________．[E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.∴X的标准差为＝＝.]离散型随机变量的方差【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．[思路点拨](1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．(2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b.[解](1)X的分布列为X01234P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴或即为所求．1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤↓↓↓↓2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．[跟进训练]1．(1)已知随机变量X的分布列为X123P0.5xy若E(X)＝，则D(X)等于()A.B.C.D.(2)已知X的分布列如下．X－101Pa①求X2的分布列；②计算X的方差；③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．(1)B[由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(X)＝×＋×＋×＝.](2)[解]①由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为X201P②由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝.③E(Y)＝4E(X)＋3＝4×＋3＝2，D(Y)＝16D(X)＝11.两点分布、二项分布的方差【例2】某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与...
