第7章计数原理1．两个计数原理(1)应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”．(2)应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成，即这些步骤不能互相替代，任何一步不能跳过．2．排列排列定义特别强调了按“一定顺序”排成一列，就是说，取出的元素不同一定是不相同的排列，即使元素相同，顺序不同，也不是相同的排列．要特别注意“有序”与“无序”的区别．3．组合(1)组合的定义中包含两个基本内容：一是取出“元素”，二是“并成一组”，即表示与顺序无关．(2)如果两个组合中的元素不完全相同就是不同的组合．4．二项式定理(1)(a＋b)n的展开式的通项为Tr＋1＝Can－rbr，且为展开式的第r＋1项．(2)二项式系数的性质①对称性：C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.②增减性与最大值：二项式系数C，当r<时，二项式系数是递增的；当r>时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项C取得最大值．当n是奇数时，中间两项C和C相等，且同时取得最大值．③二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，且C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.两个计数原理的应用[例1]如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有()A．180种B．240种C．360种D．420种[解析]由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A种方案．②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A种方案．③当用五种颜色时有A种方案．因此所有栽种方案为A＋2A＋A＝420(种)．[答案]D应用两个计数原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成．对于有些较复杂的既要分类又要分步的问题，应注意层次清晰，不重不漏，在分步时，要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的)．1．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()A．5B．24C．32D．64解析：选D5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)，第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)．第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8，根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有8×8＝64.2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3B．4C．6D．8解析：选D以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个).排列组合应用题[例2]五位老师和五名学生站成一排：(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法；(2)五名学生不能相邻共有多少种排法；(3)老师和学生相间隔共有多少种排法．[解](1)先将五名学生“捆绑”在一起看作一个与五位老师排列有A种排法，五名学生再内部全排列有A种，故共有A·A＝86400种排法．(2)先将五位老师全排列有A种排法，再将五名学生排在五位老师产生的六个空位上有A种排法，故共有A·A＝86400种排法．(3)排列方式只能有两类，如图所示：○□○□○□○□○□□○□○□○□○□○(用□表示老师所在位置，用○表示学生所在位置)故有2A·A＝28800种排法．“学生相邻”就“捆绑学生”，“学生不相邻”就插空．“捆绑”之中的元素有顺序，哪些元素不相邻就插空．[例3]由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12345，第2项是12354，…...
