高中数学 第一章 解三角形 1.1.3 解三角形的进一步讨论教案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案VIP免费

§1.1.3解三角形的进一步讨论●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]思考：在ABC中，已知22acm，25bcm，0133A，解三角形。（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。Ⅱ.讲授新课[探索研究]例1．在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；则0180()CAB从而sinaCcA1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；1如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解；（3）若sinabA，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。[随堂练习1]（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b的值有_____个。（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x）例2．在ABC中，已知7a，5b，3c，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形（注意：是锐角AABC是锐角三角形）解：222753，即222abc，∴ABC是钝角三角形。[随堂练习2]（1）在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件coscosaAbB，判断ABC的类型。（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3．在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC的值分析：可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理sinsinabABsincCsinsinsinabcABC解：由13sin22SbcA得2c，2则2222cosabcbcA=3，即3a，从而sinsinsinabcABC2sinaAⅢ.课堂练习（1）在ABC中，若55a，16b，且此三角形的面积2203S，求角C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积2224abcS，求角C（答案：（1）060或0120；（2）045）Ⅳ.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。Ⅴ.课后作业（1）在ABC中，已知4b，10c，030B，试判断此三角形的解的情况。（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。（3）在ABC中，060A，1a，2bc，判断ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760xx的根，求这个三角形的面积。3