导数的运算四则运算法则要点精讲理解并感受导数的四则运算法则，熟练掌握下表：函数的和与差的求导法则：函数积的求导法则：常数与函数积的求导法则：函数商的求导法则：典型题解析【例1】设函数f(x)=x3－2x2＋x＋5，若f'(x0)=0，则x0=．【分析】x0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0【解】f(x)=x3－2x2＋x＋5，求f'(x)=3x2－4x＋1由f'(x0)=0，得3x2－4x＋1=0解得x0=1或∴应填写答案为1或【点评】导数的运算法则再加上已有的导数公式(如其中n∈N*)是求某些简单函数的导数的常用工具．【例2】若函数f(x)=x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f/(x)的图象是（）【分析】二次函数是除一次线性函数外最熟悉的函数，首先求出函数的导函数，然后利用题设条件求出导函数中字母的取值范围，进而选择本题答案．解法一=2x＋b，其所表示的直线的斜率为2，排除B、D．又的图象的顶点在第四象限，故，即b＜0，从而直线=2x＋b的纵截距为负，选A．解法二因f(x)的图象的顶点在第四象限，故可取f(x)=(x－1)2－1=x2－2x则=2x－2，显然其图象只可能选A．【点评】解答本题的主要错误为：不会求二次函数图象的顶点坐标，不会判断直线的斜率与直线所表示的方向间的关系．【例3】函数y=(3x2＋x＋1)(2x＋3)的导数是（）A．(6x＋1)(2x＋3)B．2(6x＋1)C．2(3x2＋x＋1)D．18x＋22x＋5【分析】先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数．【解】y=(3x2＋x＋1)(2x＋3)=6x3＋11x2＋5x＋3∴y'=18x2＋22x＋5，故应选D【例4】设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,用心爱心专心116号编辑xyoAxyoDxyoCxyoB＞0．且g(3)=0．则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(－3,0)∪(3,＋∝)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∝,－3)∪(3,＋∝)D．(－∝,－3)∪(0,3)【分析】利用构造思想构造函数F(x)，然后充分利用题目所给的信息及已有的知识，对所构造的函数性质进行充分而认真的深入的研究，最后得出问题的答案．【解】f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,故函数F(x)是R上的奇函数．由奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称知，F(x)在原点两侧的单调性相同．又注意到F′(x)=依据条件知，F(x)在x＜0时为增函数，于是F(x)在x＞0时亦为增函数．因g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0，从而F(－3)=F(3)=0．作出满足条件F(x)的示意图如图所示，由图易知，F(x)＜O的解集为(－∝,－3)∪(0,3)【答案】D【例5】求函数y=lg(1＋cos2x)的导数．【分析】求复合函数的导数关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量．复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．解题的过程不必写出中间步骤,可直接运算．【解】由y=lg(1＋cos2x)得说明:可先把1＋cos2x化简为2cos2x,再求导．规律总结对复合函数的求导,关键是要分清函数的复合过程．中间变量选取的依据是该变量是我们熟悉的导数公式的形式．我们要牢记导数的运算法则和常见函数的导数．注意观察分析函数的结构形式,有的题目经过同解变形后再求导更简单．用心爱心专心116号编辑
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