第25课时两个平面垂直的判定和性质习题课（一）教学目标：使学生在掌握定理的基础上，充分发挥空间想象能力，联系所学内容进行推理、论证，培养学生严密的推理能力。教学重点、难点：问题的分析、论证。教学过程：复习有关的定义、定理。例1：已知两条异面直线a、b所成角为θ，其公垂线段AA1＝d，在a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n，求EF的长。解析：设经b而与a平行的平面为α，线AA1及线a确定的平面为βα∩β＝c∵a∥α，∴a∥c那么b、c所成角就是异面直线a、b成角.∵AA1⊥a，AA1⊥c，则AA1⊥α故α⊥β经E作EG⊥C于G，则EG⊥α连GF、EG⊥GF，EG＝AA1＝d那么在△GAF中，FG2＝m2＋n2－2mncosθ在△EGF中，EF2＝EG2＋FG2＝d2＋FG2故EF2＝d2＋m2＋n2－2mncosθ当F在另一侧（AA1另一侧）EF2＝d2＋m2＋n2－2mncos（180°－θ）＝d2＋m2＋n2＋2mncosθ故EF＝.评述：在该题解决过程中，从平面的性质，到面面垂直、线面垂直涉及多个知识点，求解过程体现等价转化思想，将空间两异面直线上任两点距离问题，通过平面α、平面β转化为平面问题.公式说明两异面直线公垂线的存在性，且公垂线段长是异面直线上任两点连线最短的.例2：已知α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ求证：l⊥γ证明：在l上取点P，过P作l′⊥γ∵α∩β＝l∴P∈α，P∈β又：α⊥γ，β⊥γ∴l′α，l′β∴l′＝α∩β而α∩β＝l∴l′与l重合∴l⊥γ证法二：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，分别在α、β内作a⊥m，b⊥n，且a、b都过所在平面内l外一点∵α⊥γ，β⊥γ∴a⊥γ，b⊥γ∴a∥b又：aβ，bβ∴a∥β又：aα，α∩β＝l∴a∥l∴l⊥γ证法三：证法二中过l上一点P作a、b，则可证a、b重合。证法四：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在γ内取一点P，并在γ内过P分别作m、n的垂线a、b∵α⊥γ，β⊥γ∴a⊥α，b⊥β∴l⊥a，l⊥b又：a∩b＝P，a、bγ∴l⊥γ例3：如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC，（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角C－BD－A的余弦值。（1）证法一：由题设知AD＝CD＝BD作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA＝OB＝OC∴O是△ABC的外心，即AB的中点∴O∈AB，即O∈平面ABD∴OD平面ABD∴平面ABD⊥平面ABC证法二：取AB中点O，连结OD，OC则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C－AB－D的平面角。设AC＝a，则：OC＝OD＝a又：CD＝AD＝AC∴CD＝a∴△COD是Rt△，即∠COD＝900∴二面角是直二面角，即面面垂直。（2）取BD中点E，连结CE、OE、OC∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD又△BOD为等腰直角三角形∴OE⊥BD∴∠OEC为二面角C－BD－A的平面角同（1）可证OC⊥平面ABD∴OC⊥OE∴△COE为直角三角形设BC＝a，则CE＝a，OE＝a∴cos∠OEC＝＝即为所求课堂小结：熟练运用定义、定理的内容，并由此进行分析、论证。课后作业：课本P4810，11，12
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