八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念【定义1】一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的（），都有那么，就称这个代数式为元对称式，简称对称式。例如，都是对称式。如果元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式中，若有项，则必有项；若有项，则必有，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母的二次对称多项式的般形式是：【定义2】如果一个元多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为元次齐次多项式。由定义2知，元多项式是次齐次多项式，当且仅当对任意实数有。例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：。【定义3】一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的，都有那么就称这个代数式为元交代式。1例如，均是交代式。【定义4】如果一个交代数式，如果将字母以代，代代代后代数式不变，即那么称这个代数式为元轮换对称式，简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，是对称式也是轮换式；是轮换式，但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面个对称多项式称为元基本对称多项式。………………2例如，二元基本对称多项式是指，三元基本对称式是指当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若是对称式，则在解题中可设。（为什么？）（2）若是对称式，则当满足性质时，也满足性质。（3）若是轮换式，则在解题中可设最大（小），但不能设。（为什么？）（4）若是轮换式，且满足性质，则也满足性质。（5）若是交代多项式，则是的因式，即其中是对称式。其中是对称式。在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。齐次对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次：，二次：三次：（2）三元齐次对称多项式一次：二次：3三次：判定是否为多项式，的因式的方法是：令，计算，如果，那么就是的因式，在实际操作时，可首先考虑的如下特殊情形：【例1】：已知多项式（1）求证：是齐次式；（2）求证：是轮换式；（3）求证：是交代式；（4）分解因式。(4)∵是交代多项式，∴是它的因式。又因为是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式。于是，可表示为【例2】：分解因式。4【例3】：分解因式。【例4】：分解因式5【例5】：分解因式。【例6】：分解因式。6故对称式与轮换对称式练习题：1．已知（1）求证：为5次齐次式；（2）求证：为轮换式；（3）求证：为交代式；（4）分解因式。2．分解因式（1）（2）（3）7（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）练习答案与提示：1．2．（1）可设，可求得（2）可设，可求出（3）可设，可求出8（4）可设，可求出（5），可求出（6）（7）（8）（9）（10）当时，，∴有的因式，可设，可求得，∴9
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