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对称式与轮换对称式VIP专享VIP免费

对称式与轮换对称式_第1页
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八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1.基本概念【定义1】一个元代数式,如果交换任意两个字母的位置后,代数式不变,即对于任意的(),都有那么,就称这个代数式为元对称式,简称对称式。例如,都是对称式。如果元对称式是一个多项式,那么称这个代数式为元对称多项式。由定义1知,在对称式中,必包含任意交换两个字母所得的一切项,例如,在对称多项式中,若有项,则必有项;若有项,则必有,项,这些项叫做对称式的同形项,同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义,可以写出含个字母的对称多项式的一般形式,例如,含有三个字母的二次对称多项式的般形式是:【定义2】如果一个元多项式的各项的次数均等于同一个常数,那么称这个多项式为元次齐次多项式。由定义2知,元多项式是次齐次多项式,当且仅当对任意实数有。例如,含三个字母的三元三次齐对称式为:。【定义3】一个元代数式,如果交换任意两个字母的位置后,代数式均改变符号,即对于任意的,都有那么就称这个代数式为元交代式。1例如,均是交代式。【定义4】如果一个交代数式,如果将字母以代,代代代后代数式不变,即那么称这个代数式为元轮换对称式,简称轮换式。显然,对称式一定是轮换式,但轮换式不一定是对称式。例如,是对称式也是轮换式;是轮换式,但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质:(1)两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式;(2)两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式;(3)同字母的对称式与交代式的积、商是交代式;(4)两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式;(5)多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面个对称多项式称为元基本对称多项式。………………2例如,二元基本对称多项式是指,三元基本对称式是指当你学完了高等代数的时候就会知道,任何一个元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。2.对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要,我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形,对于多元的情形,只需作类似的处理即可。下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧(1)若是对称式,则在解题中可设。(为什么?)(2)若是对称式,则当满足性质时,也满足性质。(3)若是轮换式,则在解题中可设最大(小),但不能设。(为什么?)(4)若是轮换式,且满足性质,则也满足性质。(5)若是交代多项式,则是的因式,即其中是对称式。其中是对称式。在利用对称式作因式分解时,齐次对称多项式,齐次轮换对称多项式,齐次交代多项式是常用的。齐次对称多项式的一般形式:(1)二元齐次对称多项式一次:,二次:三次:(2)三元齐次对称多项式一次:二次:3三次:判定是否为多项式,的因式的方法是:令,计算,如果,那么就是的因式,在实际操作时,可首先考虑的如下特殊情形:【例1】:已知多项式(1)求证:是齐次式;(2)求证:是轮换式;(3)求证:是交代式;(4)分解因式。(4)∵是交代多项式,∴是它的因式。又因为是4次齐次式,所以它还有一个一次对称式因式。于是,可表示为【例2】:分解因式。4【例3】:分解因式。【例4】:分解因式5【例5】:分解因式。【例6】:分解因式。6故对称式与轮换对称式练习题:1.已知(1)求证:为5次齐次式;(2)求证:为轮换式;(3)求证:为交代式;(4)分解因式。2.分解因式(1)(2)(3)7(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)练习答案与提示:1.2.(1)可设,可求得(2)可设,可求出(3)可设,可求出8(4)可设,可求出(5),可求出(6)(7)(8)(9)(10)当时,,∴有的因式,可设,可求得,∴9

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