高阶导数的定义,高阶导数求法举例VIP专享VIP免费

一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf二、高阶导数求法举例例1).0(),0(,arctanffxy求设解211xy)11(2xy22)1(2xx))1(2(22xxy322)1()13(2xx022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.21.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2.),()(nyRxy求设解1xy)(1xy2)1(x3)2)(1(x))1((2xy)1()1()1()(nxnynn则为自然数若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0例3.),1ln()(nyxy求设解注意:xy112)1(1xy3)1(!2xy4)4()1(!3xy)1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4.,sin)(nyxy求设解xycos)2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得例5.),,(sin)(naxybabxey求为常数设解bxbebxaeyaxaxcossin)cossin(bxbbxaeax)arctan()sin(22abbxbaeax)]cos()sin([22bxbebxaebayaxax)2sin(2222bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab2.高阶导数的运算法则:则阶导数具有和设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu)()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu莱布尼兹公式例6.,)20(22yexyx求设解则由莱布尼兹公式知设,,22xveux0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220xxxexexe)9520(22220xxex3.间接法:常用高阶导数公式nnxnx)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(利用已知的高阶导数公式,通过四则1)(!)1()1(nnnxnx运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例7.,11)5(2yxy求设解)1111(21112xxxy])1(!5)1(!5[2166)5(xxy])1(1)1(1[6066xx例8.,cossin)(66nyxxy求设解3232)(cos)(sinxxy)coscossin)(sincos(sin422422xxxxxxxxxx22222cossin3)cos(sinx2sin431224cos1431xx4cos8385).24cos(483)(nxynn三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.思考题设连续，且，)(xg)()()(2xgaxxf求.)(af思考题解答)(xg可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf)(xg不一定存在故用定义求)(af)(afaxafxfax)()(lim0)(afaxxfax)(lim)]()()(2[limxgaxxgax)(2ag一、填空题：1、设tetysin则y=_________.2、设xytan,则y=_________.3、设xxyarctan)1(2，则y=________.4、设2xxey,则y=_________.5、设)(2xfy,)(xf存在，则y=_________.6、设6)10()(xxf,则)2(f=_________.7、设nnnnna...