第2章第11课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．故选A.答案：A2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11C．18D．17或18解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，即解得或而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16.∴f(2)＝18.答案：C3．(·广东卷)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(∞－，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2∞，＋)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.答案：D4．若f(x)＝，e
f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)1解析：f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e∞，＋)上为减函数，f(a)>f(b)，故选A.答案：A5．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有()A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点解析：∵f′(x)＝x2－2ax，且a>2，∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0，即f(x)在(0,2)上是单调减函数．又∵f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，∴f(x)在(0,2)上恰好有1个零点．故选B.答案：B6．(·山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：∵y＝f(x)＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0得x＝9，x＝－9(舍去)．当00，函数f(x)单调递增；当x>9时，y′<0，函数f(x)单调递减．故当x＝9时，y取最大值．答案：C二、填空题7．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．解析：由得x>1.得00，所以不存在实数a，使得f(x)是(∞∞－，＋)上的单调函数．11．已知函数f(x)＝(1＋x)2－ln(1＋x)，(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈时，f(x)－1)．∴f(x)在(0∞，＋)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)令f′(x)＝0，即x＝0，则x0(0，e－1)f′(x)－0＋f(x)极小值又∵f＝＋1，f(e－1)＝e2－1>＋1，又f(x)e2－1.12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x)．(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝时y＝f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.(1)由题意，得解得所以，f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.x－4(－4，－2)－21f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值函数值－11134∴f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.
