第2章第8课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数f(x)＝的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由f(x)＝＝0，得x＝1，∴f(x)＝只有一个零点，故选B.答案：B2．(·吉林期末质检)函数f(x)＝x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：在同一坐标系内作出函数y＝x及y＝sinx在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零点．答案：B3．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2，e)D．(3,4)答案：B4．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为()A.B．(1∞，＋)C.D.解析：令f(x)＝x2＋ax－2，由题意，知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点，则∴≤－a≤1.答案：C5．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根为0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定解析：由题意，知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f(－1)·f(1)符号不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.答案：D6．若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分()A．5次B．6次C．7次D．8次解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3…次二等分后区间长为，，第n次二等分后区间长为.依题意得＜0.01，∴n＞log2100.由于6＜log2100＜7，∴n≥7，即n＝7为所求．答案：C二、填空题7．下列是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值.x11.251.3751.40651.438f(x)－2－0.9840.260－0.0520.165x1.51.6251.751.8752f(x)0.6251.9822.6454.356由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为________．(精确度0.1，且近似解保留两位有效数字)解析：∵f(1.438)·f(1.4065)＜0，且|1.438－1.4065|＝0.0315＜0.1，∴f(x)＝0的一个近似解为1.4.答案：1.48．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知，∴，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，解集为.答案：9．(·山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：令g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)＝ax－x－a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．答案：(1∞，＋)三、解答题10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.【解析方法代码108001020】证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝，g＝f－＝－，∴g(0)·g＜0.又函数g(x)在上连续，所以存在x0∈，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.11．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．【解析方法代码108001021】解析：若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之，x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.综上所述，a＜－或a＞1.12．函数f(x)＝x3－3x＋2，(1)求f(x)的零点；(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围；(3)画出f(x)的大致图象．解析：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．(1)令f(x)＝0，得函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.(2)令f(x)＜0，得x＜－2；令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(∞－，－2)；满足f(x)＝0的x的取值范围是{1，－2}；满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1∞，＋)．(3)函数f(x)的大致图象如图所示：
