高考数学二轮专题天天练：第8课时解三角形应用举例（三角函数）1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cosα等于()A.B.C.D.解析：选B.因tanα＝，所以cosα＝.2．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选C.cosA＝sin(－A)>sinB，－A，B都是锐角，则－A>B，A＋B<，C>.3．如图，若Rt△ABC的斜边AB＝2，内切圆的半径为r，则r的最大值为()A.B．1C.D.－1解析：选D. r＝＝－1， 4＝a2＋b2≥，∴(a＋b)2≤8.∴a＋b≤2，∴r≤－1.故选D.4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里解析：选C.如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10(海里/小时)．5．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值等于()A.B.C.D.解析：选D.根据题目条件可作图如图：在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，由余弦定理有BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB＝202＋102－2×20×10cos120°＝700，∴BC＝10，再由正弦定理得＝，∴sin∠ACB＝＝＝，cos∠ACB＝.所以sinθ＝sin(30°＋∠ACB)＝sin30°cos∠ACB＋cos30°sin∠ACB＝×＋×＝.6.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A.海里/时B．34海里/时C.海里/时D．34海里/时解析：选A.如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得＝，∴MN＝68×＝34.又由M到N所用时间为14－10＝4(小时)，∴船的航行速度v＝＝(海里/时)．7．如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为________．解析：在△AOB中，由正弦定理得＝1，sin∠AOB＝AB，在△A1OB1中，由正弦定理得2R＝＝＝2.答案：28．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．解析：在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6(舍去)．在△BCD中，由正弦定理：＝，∴BC＝·sin30°＝8.答案：89．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．答案：3010．(年高考山东卷)已知函数f(x)＝2sinxcos2＋cosxsinφ－sinx(0<φ<π)在x＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C.解：(1)f(x)＝2sinx＋cosxsinφ－sinx＝sinx＋sinxcosφ＋cosxsinφ－sinx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)．因为f(x)在x＝π时取最小值，所以sin(π＋φ)＝－1，故sinφ＝1.又0<φ<π，所以φ＝.(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)＝cosx.因为f(A)＝cosA＝，且A为△ABC的内角，所以A＝.由正弦定理得sinB＝＝，又b>a，所以B＝或B＝.当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝，当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝.综上所述，C＝或C＝.11．某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设∠ACD=α，∠CDB=β.在△CBD中．由余弦定理得cosβ＝＝＝－，∴sinβ＝.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°...
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