第8章第4节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(·东营第一次诊断)直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是()A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心C．直线与圆相离D．直线过圆心解析： 直线x＋y＝0的倾斜角为150°，∴顺时针方向旋转30°后的倾斜角为120°，∴旋转后的直线方程为x＋y＝0.将圆的方程化为(x－2)2＋y2＝3，∴圆心的坐标为(2,0)，半径为，圆心到直线x＋y＝0的距离为d＝＝＝圆的半径，∴直线和圆相切．答案：A2．(·东北三校)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A．2条B．3条C．4条D．6条解析：由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时与两坐标轴的截距都是0；当圆的切线与两坐标轴截距相等且不为零时，此切线过一、二、四象限，易知满足题意的切线有2条，综上共计4条．答案：C3．(·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x－2y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0D．x－y－3＝0解析：两圆关于直线l对称，则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0的圆心为P(3，－3)，则线段OP的中点为Q(，－)，其斜率kOP＝＝－1，则直线l的斜率为k＝1，故直线l的方程为y－(－)＝x－，即x－y－3＝0.答案：D4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为()A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0D．x＋y－3＝0解析：结合圆的几何性质处理会更简捷．由圆的一般方程可得圆心O(－1,2)，由圆的性质易知O(－1,2)，C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kOC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为：y－3＝x＋2整理得：x－y＋5＝0.答案：A5．(·宝鸡五月质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA�＋OB�|＝|OA�－OB�|(其中O为坐标原点)，则实数a等于()A．2B．－2C．2或－2D.或－解析：由|OA�＋OB�|＝|OA�－OB�|知OA⊥OB，所以由题意可得＝，所以a＝±2.答案：C6．把直线x－y＋1＝0沿向量a＝(1,0)方向平移，使之与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的距离为()A.－1B.＋2C.－1与＋1D．2－与2＋解析：如图，将直线l0：x－y＋1＝0沿向量a＝(1,0)方向平移到l1或l2时，直线与圆相切，因为圆心(2,1)到直线l0的距离d＝＝，圆的半径为1，所以直线l0与l1的距离为－1，直线l0与l2的距离为＋1，故沿向量a＝(1,0)方向平移的距离为×(－1)＝2－与×(＋1)＝2＋.答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．解析：当过点(0,1)，(0,0)的直线与弦AB垂直时，|AB|的最小值为2.答案：28．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝09．(·浙江教育考试院)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是________．解析：由题意结合圆的性质得当圆C2的圆心C2为AB的中点时圆C2的半径最大．而原点到直线3x＋4y－5＝0的距离为1，圆C2过原点O，所以圆C2的半径最大值为1.答案：1三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．解：(1)由题意可知M在圆(x－1)2＋(y－2)2＝4外，故当x＝3时满足与圆相切．当斜率存在时设为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0.由＝2，∴k＝，∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由ax－y＋4＝0与圆相切知＝2，∴a＝0或a＝.(3)圆心到直线的距离d＝，又l＝2，r＝2，∴由r2＝d2＋()2，可得a＝－.11．已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0...
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