易失分点清零(六)基平面向量1.已知点O，A，B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足AC＝CB，则OC等于()．A.OA－OBB.OA＋OBC.OA－OBD.OA＋OB解析由AC＝CB，知点C为AB的中点，由向量加法可得OC＝OA＋OB.答案D2．若平面向量a＝(1，x)和b＝(2x＋3，－x)互相平行，其中x∈R.则|a－b|＝()．A．－2或0B．2C．2或2D．2或10解析由a∥b，得x＝0或－2.当x＝－2，即a－b＝(2，－4)时，|a－b|＝＝2；当x＝0，即a－b＝(－2,0)时，|a－b|＝2.综上，知|a－b|＝2或2.答案C3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()．A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝0解析据已知BC＋BA＝2BP，可得点P为线段AC的中点，故有PC＋PA＝0.答案B4．在△ABC中，AB＝(2cosα，2sinα)，BC＝(5cosβ，5sinβ)，若AB·BC＝－5.则∠ABC＝()．A.B.C.D.解析由已知得|AB|＝2，|BC|＝5，又因为AB·BC＝－5，所以cos∠ABC＝cos〈BA，BC〉＝＝，又 ∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC＝.答案B5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()．A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析因为a∥b，所以1×m＝2×(－2)，即m＝－4.故2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案C6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()．A．8B．4C．2D．1解析由BC2＝16，得|BC|＝4，|AB＋AC|＝|AB－AC|＝|BC|＝4.而|AB＋AC|＝2|AM|，故|AM|＝2，故选C.答案C7．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()．A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析由AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：AB＝tAC，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.答案D8．已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|>1的充要条件是()．A．λ∈(0，)B．λ∈(－，0)C．λ∈(－∞，0)∪(，＋∞)D．λ∈(－∞，－)∪(，＋∞)解析|a＋λb|>1⇔a2＋2λa·b＋λ2b2＝1＋λ2＋2λ·1·1·cos135°＝λ2－λ＋1>1⇔λ2－λ>0⇔λ<0或λ>，故选C.答案C9．已知向量a＝(1－cosθ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ＝________.解析由于a∥b，故(1－cosθ)(1＋cosθ)＝1×，即sin2θ＝.又θ为锐角，故sinθ＝，所以θ＝.答案10．若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且α－β＝kπ(k∈Z)，则a与b一定满足：①a与b夹角等于α－β；②|a|＝|b|；③a∥b；④a⊥b.其中正确结论的序号为________．解析显然①不对．对于②：|a|＝＝1，|b|＝＝1.∴|a|＝|b|，故②正确．对于③： cosα＝cos(kπ＋β)＝sinα＝sin(kπ＋β)＝∴a＝(cosβ，sinβ)或a＝(－cosβ，－sinβ)，与b平行，故③正确．显然④不正确．答案②③11．已知AB＝(x,2x)，AC＝(－3x,2)，如果∠BAC是钝角，则x的取值范围是________．解析由∠BAC是钝角，知AB·AC<0且AB与AC不平行，即－3x2＋4x<0且2x＋6x2≠0，得x>或x<0且x≠－，故填∪∪.答案∪∪12．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．解析法一记|c|＝r，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(rcosθ，rsinθ)，由(a－c)·(b－c)＝0，得(1－rcosθ，－rsinθ)·(－rcosθ，1－rsinθ)＝0，即－rcosθ＋r2cos2θ－rsinθ＋r2sin2θ＝0，即r2＝r(sinθ＋cosθ)，当r≠0时，即r＝sinθ＋cosθ＝sin≤，即|c|的最大值是.法二设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)＝0，即x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝，这是一个圆心坐标为，半径为的圆，所求的问题等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离，根据图形，这个最大距离是，即所求的最大值为.答案13．已知O为坐标原点，向量OB＝(2,0)，OC＝(2,2)，CA＝(cosα，sinα)，求向量OA与OB的夹角的范围．解 OC＝(2,2)，OB＝(2,0)，∴B(2,0)，C(2,2)． CA＝(cosα，sinα)，∴OA＝CA＋OC＝(2＋cosα，2＋sinα)，∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．如图，过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM，CN，则向量OA与OB的夹角范...
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