置信区间(详细定义及计算)VIP专享VIP免费

1第七章置信区间的概念一、置信区间的概念二、数学期望的置信区间三、方差的置信区间2这种形式的估计称为区间估计.前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.范围通常用区间的形式给出的。较高的可靠程度相信它包含真参数值.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作1，这里是一个很小的正数，称为显著水平。3),,,,(2111nXXX),,,(2122nXXX)(21若由总体X的样本X1,X2,…Xn确定的],[21则称为随机区间。两个统计量随机区间与常数区间),(ba不同，其长度与在数轴上的位置与样本nXXX,,,21有关。当一旦获得样本值nxxx,,21那么，),,,(211nxxx),,(212nxxx都是常数。],[21为常数区间。41}{21P若满足设是总体X的一个未知参数，,10的置信区间.121和（双侧置信区间）.的置信水平（置信度）为分别称为置信下限和置信上限为显著水平.1为置信度，则称区间是],[21],,[21若存在随机区间对于给定的5置信水平的大小是根据实际需要选定的.1}{21P根据一个实际样本，],[21，使一个尽可能小的区间由于正态随机变量广泛存在，指标服从正态分布，特别是很多产品的我们重点研究一个正态总体情形由给定的置信水平，我们求出975.01即取置信水平或0.95，0.9等.例如，通常可取显著水平等.,1.0,05.0,025.0数学期望和方差的区间估计。26设nXXX,,,21为总体),(~2NX的样本，2,SX分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。个区间，7设),(~2NX),(~2nNXnXDXE2则随机变量)1,0(~2NnXZ1、已知σ2时，μ的置信区间令22{}1XPzn22z22z822{}1XPzn222{}1XPzzn],[22znXznX这就是说随机区间它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。由定义可知，此区间即为μ的置信区间。22{}1PzXznn1}{22znXznXP22z22z9],[22znXznX置信区间也可简记为][2znX它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。由定义可知，此区间即为μ的置信区间。其置信度为1－α。置信下限2znX置信上限2znX22z22z1016195.0105.0n查表得0.02521.96zz若由一个样本值算得样本均值的观察值20.5x则得到一个区间(5.200.49)(4.71,5.69)我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：若反复抽样多次，每个样本值（n=16)按公式1.961.96(,)44xx即(0.49)x确定一个区间。],[22znXznX11(0.49,0.49)xx确定一个区间。在这么多的区间内包含μ的占0.95,不包含μ的占0.05。本题中(4.71,5.69)，属于那些包含μ的区间的可信程度为0.95.或“该区间包含μ”这一事实的可信程度注：μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。为0.95.12当n充分大时，无论X服从什么分布，都近似有)1,0(~NnDXEXXZμ的置信区间是总体),(~2NX的前提下提出的。均可看作EX的置信区间。],[22znXznX13设总体X~N(μ,0.09)，有一组样本值：12.6，13.4，12.8，13.2，求参数μ的置信度为0.95的置信区间.解μ的置信区间为22[,]XzXznn00代入样本值算得,[12.706，13.294].得到μ的一个区间估计为注：该区间不一定包含μ.0.02521.96zz有1－α=0.95，σ0=0.3，n=4,0.30.3[13196,131.96]22.13x1405.0可以取标准正态分布上α分位点－z0.04和z0.01,则又有0.040.012{}0.95XPzzn0.010.04{}0.95PXzXznn则μ的置信度为0.95的置信区间为0.010.04[,]XzXznn与上一个置信区间比较，同样是95.01其区间长度不一样，上例0.025123.920.984zn...