高三数学试卷（理科第Ⅰ卷）2014．11注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设全集则▲．2．已知复数R),满足，则▲．3.已知向量，若，则=▲．4.“”是“”的▲条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”选填).5.某算法的伪代码如右图所示,则输出的结果是▲．6.甲盒子里装有四张分别标有数字1,2,4,7的卡片，乙盒子里装有两张分别标有数字1,4的卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是▲．7.比较▲大小（填“”或“”号）8.设向量a，b满足：，，则▲．9.已知函数则不等式的解集为▲．10.若方程的解为，则大于的最小整数是▲．11.已知函数，且，则=▲．高三数学试卷第1页（共4页）112002PrintsiWhilesiissiEndWhilei（第5题图）12.已知定义域为R的函数的导函数满足，且，则不等式的解集为▲．13.请在括号内填写一个整数，使得等式成立，这个整数是▲．14.已知是正数,且满足,则的最小值为▲．法：，变题：已知是正数,且满足,则的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知（1）求的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，若，求的值.16．（本小题满分14分）如图，正三角形的边长为，分别是边上的点，且，，,为的中点．（1）若，求；（2）设为线段的中点，如果三点共线，求证：.高三数学试卷第2页（共4页）ABCEFMN（第16题图）17．（本小题满分14分）已知实数R，，函数.（1）如果存在实数，使得，证明：方程必有两个不等的实根（），且满足；（2）如果为非零常数，且，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.高三数学试卷第3页（共4页）18．（本小题满分16分）如图1，是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段和曲线分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光需要，拟过栈桥上某点分别修建与平行的栈桥，且以为边建一个跨越水面的三角形观光平台.测得m，m，防波堤上的任一点与湖堤距离之积恒为20000m2.现建立如图2所示的直角坐标系，设点的坐标为（栈桥及防波堤都不计宽度）．（1）求三角形观光平台面积的最小值；（2）若要使△的面积不小于32000m2，求的范围．高三数学试卷第4页（共4页）（第18题图）19．(本小题满分16分)已知R，函数.（1）是否存在实数，使得为偶函数，若存在，请求出实数，若不存在，请说明理由；（2）求函数在区间上的最小值.20．（本小题满分16分）已知函数.（1）在函数图象上求一点,使得到直线的距离最短,并求出此最小值；（2）是否存在实数，使得，同时成立，如果有，请求出所有的；如果没有，请说明理由？20.（理）解：（1）设，到直线距离为，……3分令，，……4分当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增减，……5分当时取得极小值也是最小值，故当时，到直线距离最小.……6分（2）若存在实数，使得，同时成立，则，，当时，满足使得，同时成立.……8分显然当，或时，不能均同时成立.……10分不妨设，.高三数学试卷第5页（共4页）由（1）得，代入（2）得：，……11分设函数，，……12分设函数，，……13分所以上单调递增，，……14分恒成立，上单调递增，，（3）式不能成立，……15分不能同时成立，所以有且只有时，原式成立.……16分附加题参考答案21A.证明：连结，则，……4分而，所以，……8分所以……10分【说明】本题考查了弦切角定理，考查了学生的转化与化归的能力.21B.解：由题意A.……1分……3分矩阵A的特征多项式为.则.……5分当，特征方程为，属于特征值的一个特征向量为：，...
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