“将军饮马"类题型大全一•求线段和最值1（一）两定一动型例1:如图，AM丄EF,BN丄EF,垂足为M、N,MN=12m,AM=5m,BN=4m,P是EF上任意一点，则PA+PB的最小值是m.E.UPtVF分析：这是最基本的将军饮马问题，A,B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A',根据两点之间，线段最短，连接A'B,此时A'P+PB即为A'B,最短•而要求A'B,则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决.解答：作点A关于EF的对称点A',过点A'作A'C丄BN的延长线于C•易知A'M=AM=NC=5m,BC=9m,A'C=MN=12m,在Rt^A'BC中,A'B=15m,即PA+PB的最小值是15m.A变式：2如图，在边长为2的正三角形ABC中，E,F,G为各边中点，P为线段EF上-动点，则ABPG周长的最小值为ABGC分析:考虑到BG为定值是1,则ABPG的周长最小转化为求BP+PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点,这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG,则AG丄BC,再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE=EG,则点A就是点G关于EF的对称点撮后计算周长时，别忘了加上BG的长度.解答：连接AG,易知PG二PA,BP+PG二BP+PA,当B,P,A三点共线时，BP+PG=BA，此时最短,BA=2,BG=1，即△BPG周长最短为3.SGC（二）一定两动型例2:如图，在△ABC中，AB=AC=5,D为BC中点,AD=5,P为AD上任意一点,E为AC上任意一点，求PC+PE的最小值./肚BDC分析：这里的点C是定点，P,E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC是等腰三角形,AD是BC中线，则AD垂直平分BC,点C关于AD的对称点是点B,PC+PE二PB+PE,显然当B,P,E三点共线时,BE更短•但此时还不是最短，根据“垂线段最短”只有当BE丄AC时,BE最短•求BE时，用面积法即可.解答：作BE丄AC交于点E,交AD于点P,易知AD丄BC,BD=3,BC=6,MAD・BC=BE・AC,4X6二BE・5,BE=4.8BDC变式：如图,BD平分ZABC,E,F分别为线段BC,BD上的动点，AB=8,△ABC的周长为20,求EF+CF的最小值.F分析：这里的点C,点D是定点,F,E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑•作点C关于0B的对称点，点D关于0A的对称点.解答：作点C关于0B的对称点C'，点D关于0A的对称点D'，连接C'D'.CF+EF+DE二C'F+EF+D'E，当C',F,E,D'四点共线时，CF+EF+DE二C'D'最短•易知ZD'OC'=90°,0D'=12,0C'=5,C'D'=13,CF+EF+DE最小值为13.变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD边1。4m,有一颗红球F紧贴BC边,且距离CD边0。1m,若要使白球E经过边AD,DC,两次反弹击中红球F,求白球E运动路线的总长度.BFC分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E'，作点F关于CD边的对称点F'，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型.解答：作点E关于AD边的对称点E'，作点F关于CD边的对称点F'，连接E'F'，交AD于点G,交CD于点H,则运动路线长为EG+GH+HF长度之和，即E'F'长，延长E'E交BC于N,交AD于M,易知E'M=EM=0o22m,E'N=1.78+0。22=2m,NF'二NC+CF'=1。4+0。1=1。5m，则Rt^E'NF'中,E'F'=2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m.ADI駅1•"I«3VFCr小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动"“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称",利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解.当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称■(二)求角度例1:P为ZAOB内一定点，M,N分别为射线OA,0B上一点，当APIMN周长最小时,ZMPN=80°.(1)ZAOB二°⑵求证：0P平分ZMPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M,N的位置找到，再来思考ZAOB的度数，显然作点P关于0A的对称点P'，关于0B的对称点P'',连接P'P''，其与OA交点即为M,OB交点即为N,如下图，易知ZDPC与ZAOB互补，则求出ZDPC的度数即可.解答：(1)法1：如图,Z1+Z2=100°,Z1=ZP'+Z3=2Z3,Z2=ZP''+Z4=2Z4,再分析：考虑到第二小问要证明0P平分ZMPN,我们就连接0P,则要证Z5=Z6,...
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