第四章数值微分与数值积分一、基本内容提要1.差商型数值微分公式（1）向前差商公式（2）向后差商公式（3）中心差商公式2.插值型数值微分（1）两点数值微分公式（）过节点的插值型数值微分两点公式为其截断误差为，其中。（2）三点数值微分公式过节点的插值型计算导数的三点公式为其截断误差为（3）二阶数值微分公式住：此公式是三点公式。3.牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式将积分区间等分，步长，取等距节点则柯特斯（Cotes）系数牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式为又被称为N-C公式。下面给出几种特殊的N-C求积公式。（1）梯形求积公式：当时，，相应的求积公式称为梯形求积公式。（2）辛普森（Simpson）公式当时，，，，相应的求积公式为（3）柯特斯（Cotes）公式当时，令，，求积公式称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。4.求积公式的代数精度若求积公式对任意次数不高于次的多项式均精确成立，而对某个次的多项式不精确成立，则称该求积公式具有次代数精度（AlgebraicAccuracy）。5.复化梯形积分若将积分区间等分，步长，节点在每个小区间上用梯形公式并求和得到的公式称为复化梯形公式。6.复化辛普森（Simpson）积分若将积分区间分成等分，步长，节点在每个小区间上使用Simpson公式则有其中，对其求和可得得到的公式则称为复化Simpson公式。7.龙贝格(Romberg)求积公式Romberg积分是一种最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列，经Richardson外推算法得到的求积公式。下面对改公式进行详细的介绍：对积分，使用复化梯形公式并记再根据Euler-Maclaurin公式，可得取其中的，由Richardson外推公式得设，则，且有如此重复Richardson公式可得若记，则上式可记为此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。8.高斯(Gauss)求积公式Gauss型求积公式是指具有次代数精度的形如插值型求积公式，其节点称为Gauss点。下面介绍几种常用的Gauss型求积公式：（1）高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式其Gauss点为Legendre多项式的零点，求积系数为（2）高斯-切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式其Gauss点及求积系数为，（3）高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）求积公式其Gauss点为Laguerre多项式的零点，求积系数为（4）高斯-埃尔米特（Gauss–Hermite）求积公式其Gauss点为Hermite多项式的零点，求积系数为
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