刚性球与平面弹性接触的临界参数计算接触问题作为应用力学的一个分支在工程中会经常遇到。实际上,在有机械部分的工业设备中,几乎无一例外地存在着接触现象。典型的例子有:齿轮间的接触,轴承中滚子与坐圈的接触,凸轮机构中凸轮与传动件的接触,火车的车轮与铁轨的接触等[1-2]。许多工程表面的接触问题,在宏观上一般可以简化为回转体接触,即便在微观上,实际表面的接触也是椭球状的微凸体接触。对于类似这样的接触问题,都可以简化成球体与平面的接触模型,如果接触过程为弹性变形,则可采用经典的Hertz模型来进行计算处理。图1反映了刚性球与平面接触过程的变形演化趋势。当压入深度较小时,材料处于完全弹性接触状态,随着压入深度的增加,材料内部发生屈服,开始出现塑性变形,当压入深度达到一定值后,接触区域呈现完全塑性变形。在真实的接触过程中,总是希望两体之间的接触处于弹性状态,此时工件的变形较小,使用寿命也会很高。但是当压入深度超过某一值后,材料就会发生屈服,出现塑性变形,如果工件长期在塑性状态下工作,将会对其使用寿命产生很大的影响。由于材料的弹塑性变形的非线性使得接触问题复杂化,因此,获得从弹性接触进入弹塑性接触的临界点,即Hertz接触的临界参数显得尤为重要。图1刚性球与平面接触的变形演化示意图目前,在工程上采用有限元分析方法来仿真接触体的变形、应力分布、接触面积等得到了广泛应用,但其计算时间长,软硬件成本较高。由于弹性接触问题在工程实际中普遍存在,如何采用一种行之有效的方法进行工件的接触强度分析和校核,建立符合工程实际的设计和校核公式,一直是工程技术人员和广大科研工作者的一个研究方向。因此,我们以弹性接触理论和弹塑性力学为基础,建立刚性球与平面弹性接触的临界接触参数计算模型,为构件的接触变形分析提供参考。1Hertz接触理论Hertz在研究半径为R的弹性球与弹性半空间变形体的接触时,为了简化分析,做了如下假设:在压入深度为h时,其接触处于弹性变形阶段,两者之间的接触是无摩擦的局部变形,其接触区域相对于球体而言很小,则接触面的投影形状为圆形。图2反映了球与半空间之间的弹性接触示意,a表示接触半径。因此,两个接触体可以认为是弹性半空间,在接触区域上受到了相同的接触压力。Hertz假设接触区域的压力分布为抛物线形状,其表达式为：(1)式中,p0为接触中心处的最大接触压力;r为接触点距接触中心的径向距离。图2球与半空间变形体的接触示意图对式(1)在整个接触区域0-a区间进行积分,即可得到其接触的合力F为：(2)接触半径a的表达式为：(3)式中,E*为等效弹性模量,其表达式为：(4)式中,v、vi分别为两接触体的泊松比,E、Ei为其弹性模量。根据Hertz接触理论,半径为R的刚性球与弹性平面接触,其接触力F,最大接触压力p0,接触半径a与压入深度h之间的关系分别是：(5)根据Hertz接触理论,对于不同半径的球之间的接触,同样也可以等效为球与平面的接触,此时半径R为两球的等效半径,其计算表达式为：(6)式中,R1、R2分别为两球的半径,+表示两球为外接触,-表示两球为内接触。2临界参数计算根据图2所示的坐标,采用最大接触压力p0对z轴上各点的应力场进行无量纲化,正应力和剪应力的表达式分别为：(7)式中,Rr、RH和Rz分别是径向、周向和z向的正应力;Srz、SrH和RzH是相应的剪应力。根据式(9)~式(11)可以发现:Rz与泊松比v无关,但是Rr和RH与泊松比v相关。z轴上的无量纲应力Rr/p0、RH/p0和Rz/p0与无量纲位置z/a和泊松比v之间的变化关系曲线如图3所示。图3无量纲应力R/p0、Y/p0与无量纲深度z/a和泊松比v的关系从图3中可以发现,当z/a小于1时,Rr、RH和Rz随深度的增加而增加,但是Rz增加的速度明显没有另外两个快。当z/a大于1后,Rr和RH变化很小,且趋近于0,而Rz随z/a增加而继续增加。泊松比v越小,Rr和RH越大,这是因为材料的可压缩性增加(泊松比小),应力也会随之增加。在弹性变形区域,应力随着F或h增加而增加,最终导致材料屈服。在z轴方向,由于Srz、SrH和SzH为0,因此,Rr、RH和Rz为主应力[6]。根据VonMises屈服准则,在z轴上的点的屈服应力可以表示为：(8)对于某一个v,式(13)所表示的屈服应力值随着z/a变化而变化,其变化关系曲线如图3所示。从图3中可以看出:无量纲屈服应...
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