专题04函数值域（最值）的求法（判别式法等）VIP专享VIP免费

1第04讲：函数值域（最值）的求法（判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）【考纲要求】1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的值域。2、理解函数的最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域。二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。3、反比例函数Error:Referencesourcenotfound的值域为Error:Referencesourcenotfound.4、指数函数Error:Referencesourcenotfound的值域为Error:Referencesourcenotfound.5、对数函数Error:Referencesourcenotfound的值域为R.6、幂函数Error:Referencesourcenotfound的值域为R，幂函数Error:Referencesourcenotfound的值域为Error:Referencesourcenotfound。7、正弦函数Error:Referencesourcenotfound、余弦函数Error:Referencesourcenotfound的值域为Error:Referencesourcenotfound，正切函数Error:Referencesourcenotfound的值[来源:Z。xx。k.Com]域为R，余切函数Error:Referencesourcenotfound的值域为R.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。六、函数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值。【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如Error:Referencesourcenotfound的函数。解题步骤一般先将函数化成方程，再利用判别式来求函数的值域。例1求函数Error:Referencesourcenotfound的值域。2Error:Referencesourcenotfound即Error:Referencesourcenotfound此时方程有实根即△Error:Referencesourcenotfound,△Error:Referencesourcenotfound当Error:Referencesourcenotfound时，方程化为7=0，显然不能成立，所以Error:Referencesourcenotfound[来源:学科网]将Error:Referencesourcenotfound分别代入检验得Error:Referencesourcenotfound不符合方程，所以Error:Referencesourcenotfound。方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值。解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域。例2已知Error:Referencesourcenotfound，求函数Error:Referencesourcenotfound的最小值。解：Error:Referencesourcenotfound。Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound当且仅当Error:Referencesourcenotfound，即Error:Referencesourcenotfound时，上式等号成立。因为Error:Referencesourcenotfound在定义域内，所以最小值为1。例11已知Error:Referencesourcenotfound，求函数Error:Referencesourcenotfound的最大值。3【变式演练2】求函数Error:Referencesourcenotfound的最小值。【变式演练3】某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200Error:Referencesourcenotfound的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断。解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域。例3求函数Error:Referencesourcenotfound的值域。解：Error:ReferencesourcenotfoundError:Referencesourcenotfound【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域。例4求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域。（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数。（3）本题1xlogy,2y325x1都是增函数，利用到了复合函数的单调性。【变式演练4】求函数Error:Referencesourcenotfound的值域。【变式演练5】已知函数f(x)=xaxx22,x∈［1,+∞)4(1)...