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培优专题3-用分组分解法进行因式分解(含答案)VIP专享VIP免费

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3、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式211242aaaaa()分解因式,所得的结果为()AaaBaaCaaDaa.().().().()222222221111分析:先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。解:原式211242aaaaa(()aaaaaaaaaaaaaaa43243222222223212221211()()()()()故选择C例2.分解因式xxxxx54321分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把xxxxx54321和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;此题也可把xx54,xxx321和分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。解法1:原式()()()()()()()xxxxxxxxxxxxx54323222111111解法2:-1-原式()()()()()()()()()[()]()()()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx54324242422221111111211112.在几何学中的应用例:已知三条线段长分别为a、b、c,且满足abacbac,2222证明:以a、b、c为三边能构成三角形分析:构成三角形的条件,即三边关系定理,是“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”证明:acbac2222acbacaaccbacbacbacbacbacbacbacbabcabcabcababc2222222220200000,即又,,即以、、为三边能构成三角形()()()3.在方程中的应用例:求方程xyxy的整数解分析:这是一道求不定方程的整数解问题,直接求解有困难,因等式两边都含有x与y,故可考虑借助因式分解求解解:xyxyxyxyxyxyxyyyxxyxyxy01111111111111111即是整数或()()()(),xyxy0022或4、中考点拨例1.分解因式:1222mnmn_____________。解:1222mnmn12111222()()()()mmnnmnmnmn说明:观察此题是四项式,应采用分组分解法,中间两项虽符合平方差公式,但搭配在一起不能分解到底,应把后三项结合在一起,再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式:xyxy22____________解:xyxy22()()xyxy22()()()()()xyxyxyxyxy1-2-说明:前两项符合平方差公式,把后两项结合,看成整体提取公因式。例3.分解因式:xxx323412____________解:xxx323412xxx324312xxxxxx()()()()()22434322说明:分组的目的是能够继续分解。5、题型展示:例1.分解因式:mnmnn222141()解:mnmnn222141()mnmmnnmnmnmmnnmnmnmnmnmnmn222222222241212111()()()()()()说明:观察此题,直接分解比较困难,不妨先去括号,再分组,把4mn分成2mn和2mn,配成完全平方和平方差公式。例2.已知:abcdacbd2222110,,且,求ab+cd的值。解:ab+cd=abcd11abcdcdababcabdcdacdbabccdbabdcdabcacbdadbdacacbdbcad()()()()()()()()222222222222acbd00原式说明:首先要充分利用已知条件abcd222211,中的1(任何数乘以1,其值不变),其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式,由ac+bd=0可算出结果。例3.分解因式:xx323分析:此题无法用常规思路分解,需拆添项。观察多项式发现当x=1时,它...

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