2015年北京市丰台区高考数学二模试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知A={x|x>1},B={x|x2﹣2x<0},则A∪B=()A.{x|x<0或x≥1}B.{x|1<x<2}C.{x|x<0或x>1}D.{x|x>0}2.“a=0”是“复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.直线y=x+4与曲线y=x2﹣x+1所围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.4.函数f(x)=的所有零点的和等于()A.1﹣2πB.1﹣C.1﹣πD.1﹣5.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则其左视图面积为()A.6B.C.3D.6.平面向量与的夹角是,且||=1,||=2,如果=+,=﹣3,D是BC的中点,那么||=()A.B.2C.3D.67.某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按5天计算)生产A,B,C三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产品),已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表:产品名称ABC天产值(单位:万元)42则每周最高产值是()A.30B.40C.47.5D.52.58.抛物线y2=4x的焦点为F,经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,与准线l交于点B,且AK⊥l于K,如果|AF|=|BF|,那么△AKF的面积是()A.4B.3C.4D.8二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知正实数x,y满足xy=3,则2x+y的最小值是.10.直线l的斜率是﹣1,且过曲线(θ为参数)的对称中心,则直线l的方程是.11.已知函数f(x)=sin2x+cos2x,则f(x)的最小正周期是;如果f(x)的导函数是f′(x),则f′()=.12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是.13.如图所示,△ABC内接于⊙O,PA是⊙O的切线,PB⊥PA,BE=PE=2PD=4,则PA=,AC=.14.已知非空集合A,B满足以下四个条件:①A∪B={1,2,3,4,5,6,7};②A∩B=∅;③A中的元素个数不是A中的元素;④B中的元素个数不是B中的元素.(ⅰ)如果集合A中只有1个元素,那么A=;(ⅱ)有序集合对(A,B)的个数是.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.在△ABC中,A=30°,BC=2,点D在AB边上,且∠BCD为锐角,CD=2,△BCD的面积为4.(Ⅰ)求cos∠BCD的值;(Ⅱ)求边AC的长.16.长时间用手机上网严重影响着学生的健康,某校为了解A,B两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他们平均每周手机上网时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时,则称为“过度用网”.(Ⅰ)请根据样本数据,分别估计A,B两班的学生平均每周上网时长的平均值;(Ⅱ)从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据,求恰有1个数据为“过度用网”的概率;(Ⅲ)从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据,记“过度用网”的学生人数为ξ,写出ξ的分布列和数学期望Eξ.17.如图所示,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,BD⊥AC于O,且AA1=OC=2OA=4,点M是棱CC1上一点.(Ⅰ)如果过A1,B1,O的平面与底面ABCD交于直线l,求证:l∥AB;(Ⅱ)当M是棱CC1中点时,求证:A1O⊥DM;(Ⅲ)设二面角A1﹣BD﹣M的平面角为θ,当|cosθ|=时,求CM的长.18.已知数列{an}满足a1=10,an=(n∈N*),其前n项和为Sn.(Ⅰ)写出a3,a4;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)求Sn的最大值.19.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)动点P在椭圆C上,直线l:x=4与x轴交于点N,PM⊥l于点M(M,N不重合),试问在x轴上是否存在定点T,使得∠PTN的平分线过PM中点,如果存在,求定点T的坐标;如果不存在,说明理由.20.已知函数f(x)=(a>0).(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)如果关于x的方程lnx+1=bx有两解,写出b的取值范围(只需写出结论);(Ⅲ)证明:当k∈N*且k≥2时,ln<+++…+<lnk.2015年北京市丰台区高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出...