2015年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∪B=（）A．{x|x＜0或x≥1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞1}D．{x|x＞0}2．“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．直线y=x+4与曲线y=x2﹣x+1所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=的所有零点的和等于（）A．1﹣2πB．1﹣C．1﹣πD．1﹣5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（）A．6B．C．3D．6．平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，如果=+，=﹣3，D是BC的中点，那么||=（）A．B．2C．3D．67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：产品名称ABC天产值（单位：万元）42则每周最高产值是（）A．30B．40C．47.5D．52.58．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（）A．4B．3C．4D．8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是．10．直线l的斜率是﹣1，且过曲线（θ为参数）的对称中心，则直线l的方程是．11．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的最小正周期是；如果f（x）的导函数是f′（x），则f′（）=．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．13．如图所示，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，PB⊥PA，BE=PE=2PD=4，则PA=，AC=．14．已知非空集合A，B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么A=；（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，A=30°，BC=2，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．（Ⅰ）求cos∠BCD的值；（Ⅱ）求边AC的长．16．长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望Eξ．17．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA1=OC=2OA=4，点M是棱CC1上一点．（Ⅰ）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l∥AB；（Ⅱ）当M是棱CC1中点时，求证：A1O⊥DM；（Ⅲ）设二面角A1﹣BD﹣M的平面角为θ，当|cosθ|=时，求CM的长．18．已知数列{an}满足a1=10，an=（n∈N*），其前n项和为Sn．（Ⅰ）写出a3，a4；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求Sn的最大值．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N不重合），试问在x轴上是否存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）如果关于x的方程lnx+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当k∈N*且k≥2时，ln＜+++…+＜lnk．2015年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出...
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