反证法应用举例李新良反证法是数学学习中常用的一种方法，而且有很多命题只能用它去证明。反证法在立体几何中用得最多，课本中有很多定理如直线和平面的平行判定定理、平面和平面的平行判定定理等都是采用反证法来证明的。一.证明两条直线是异面直线例1.求证：分别和两条异面直线AB和CD同时相交的直线AC、BD是异面直线。证明：如图1所示，假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内。设这个平面为α，由ACBD，，知A、B、C、D，故ABCD，。这与AB和CD是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC和BD是异面直线。图1二.证明有关“唯一性”的命题例2.已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个。证明：如图2所示，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β。在直线a上取点A，过b和A确定一个平面，且与α、β分别交于过点A的直线c、d。由b//α，知b//c。同理b//d，故c//d。这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立。原结论成立。图2三.证明直线在平面内例3.已知直线a平面α，点A平面α，直线AB//a，求证：AB。证明：如图3所示，假设AB不在平面α内。因为A，所以ABA。由于a，从而由异面直线判定定理知AB与a是异面直线，这与AB//a矛盾。因此假设不成立，故AB。图3四.证明直线与平面的位置关系例4.求证：两条平行线中一条直线与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交。已知：abaA//，平面，如图4所示。求证：直线b和平面α必相交。用心爱心专心115号编辑1图4证明：假设b和平面α不相交，即bb或//（1）若b，因为aba//，，所以a//α，这与aA相矛盾。（2）如图5所示，如果b//α，因为a//b，所以a和b确定一个平面β，显然平面α与平面β相交。设c，因为b//，所以b//c。又a//b，从而a//c且ac，。故a//，这与aA矛盾。由（1）、（2）可知，假设不成立。故直线b与平面α相交。图5以上几种形式比较适合采用反证法来证明，但是有的命题即使属于这几种类型中的一种，也是可以采用直接证法的。对于某一命题究竟使用哪一种证法更好，证明得更快，需要同学们具体问题具体分析，熟练掌握，灵活运用。练一练：求证：若两条直线a、b相交则只有一个交点。证明：假设直线a、b不止有一个公共点，则至少有两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。用心爱心专心115号编辑2
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