3．2.3直线的一般式方程学习目标预习导学典例精析栏目链接1．掌握直线一般式方程的形式及几何意义．2．体会直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线．3．清楚直线与二元一次方程的对应关系，能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一一般式与其他形式的互化学习目标预习导学典例精析栏目链接例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A(5，3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.解析：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3(x－5)，化为一般式为：3x－y＋3－53＝0.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y＝4x－2，化为一般式为：4x－y－2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：y－5－1－5＝x－（－1）2－（－1）.化为一般式方程为：2x＋y－3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x－3＋y－1＝1，化成一般式方程为：x＋3y＋3＝0.点评：这类题目求解的关键是选准合适的方程形式，对于一般式方程，x的系数一般为非负数且x，y的系数不要有分数．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．已知直线l经过点A(－5，6)和点B(－4，8)，求直线的一般式方程和截距式方程．解析：直线过A(－5，6)、B(－4，8)两点，由两点式得，y－68－6＝x＋5－4＋5，整理得2x－y＋16＝0，∴2x－y＝－16，两边同时除以－16，得x－8＋y16＝1.故所求直线的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为x－8＋y16＝1.题型二用直线方程的一般式研究平行与垂直学习目标预习导学典例精析栏目链接例2a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0，(1)平行；(2)垂直？解析：当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝－1＋a2，截距为b1＝2；直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝1a，截距为b2＝－1a.(1)由k1＝k2，b1≠b2，即1a＝－1＋a2，a≠－12，解得a＝－1或a＝2.学习目标预习导学典例精析栏目链接所以当a＝－1或2时，两直线平行．(2)由k1·k2＝－1，即1a·－1＋a2＝－1，解得a＝13.所以当a＝13时，两直线垂直．点评：按有无斜率及斜率是否为0进行讨论，也可按平行或垂直的充要条件来解．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．解析：解法一(1)由题意，所求直线斜率为－34，过点A(2，2)，则所求方程为y－2＝－34(x－2)，即3x＋4y－14＝0.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)由题意，所求直线斜率为43，过点A(2，2)，则所求直线方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.解法二(1)由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0，将点A(2，2)代入得c＝－14，则所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)由题意，设所求直线方程为4x－3y＋c＝0，将点A(2，2)代入，得c＝－2，则所求直线的方程为4x－3y－2＝0.题型三含参数的直线方程学习目标预习导学典例精析栏目链接例3若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上截距等于1，求实数m的值．解析：①当m＋1＝0即m＝－1时，方程不表示直线，∴m≠－1.②直线方程化为截距式得：x1＋ym＋1m2－m－2＝1，由m＋1m2－m－2＝1解得：m＝－1或m＝3.∵m≠－1，综上所述，m＝3.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：利用直线的点斜式，斜截式，两点式、截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，最后将方程形式转化为一般式．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练3．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．(1)l在x轴上的截距为－3；(2)斜率为1.解析：(1)令y＝0，依题意得m2－2m－3≠0，①2m－6m2－2m－3＝－3，②由①得m≠3且m≠－1，学习目标预习导学典例精析栏目链接由②得3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－53.综上所述，m＝－53.(2)由题意得2m2＋m－1≠0，③－（m2－2m－3）2m2＋m－1＝1，④由③得m≠－1且m≠12，解④得m＝－1或43.∴m＝43.
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