第23讲相似三角形考点一相似三角形的定义如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．考点二相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．温馨提示：运用相似三角形的性质要特别注意“对应”，并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比，而只有对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比.考点三相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．3．两角对应相等的两个三角形相似．4．三边对应成比例的两个三角形相似．温馨提示：直角三角形相似的判定：1两直角边对应成比例的两个直角三角形相似；2有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；3有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；4直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.考点四利用相似三角形解决实际问题在实际生活中利用影子测量树高、楼房高以及利用反射构造相似等问题常常用到相似三角形的性质来解决．考点一相似三角形的性质例1(2014·重庆)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是()A．1B．2C．3D．4【点拨】由△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，可得BC∶EF＝1∶2，又BC＝1，所以EF＝2.故选B.【答案】B方法总结：相似三角形的对应边长之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.考点二相似三角形的判定例2(2014·岳阳)如图，矩形ABCD为台球桌面．AD＝260cm，AB＝130cm.球目前在E点位置，AE＝60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点的位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，能根据条件选择合适的方法是解题的关键．解：(1)证明：由题意，得∠EFG＝∠DFG. ∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，∴∠BFE＝∠CFD. ∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDF.(2) △BEF∽△CDF，∴BECD＝BFCF，∴130－60130＝260－CFCF，∴CF＝169.方法总结：判定两个三角形相似时，方法有多种，要结合题目给出的条件和图形中隐含的条件，确定合适的方法.常用的方法：①两个角对应相等；②平行线法.考点三相似三角形的应用例3(2014·潍坊)如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A、标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是________米．【点拨】设建筑物的高为x米，根据题意，易得△CDG∽△ABG，∴CDAB＝DGBG， CD＝DG＝2米，∴BG＝AB＝x米．再由△EFH∽△ABH，可得EFAB＝FHBH，即2x＝4BH，∴BH＝2x(米)，即BD＋DF＋FH＝2x，即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54.【答案】54方法总结：在实际生活中，处处存在相似三角形.相似三角形的应用体现在：①同一时刻物高与影长的问题；②利用相似测量无法直接测量的物体；③利用相似进行图形设计等.1．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是()A.DECB＝ADDBB.AECB＝ADBDC.DECB＝AEABD.ADAB＝AEAC解析： ∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.且边AD与AC对应，AE与AB对应，DE与CB对应．∴ADAC＝AEAB＝DECB.故选C.答案：C2．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，DE∥AB，BD是∠ABC的平分线，那么△DCE的面积与四边形ABED的面积之比是()A．4∶21B．4∶9C．9∶16D．2∶3解析： DE∥AB，∴∠BDE＝∠DBA，又 BD是∠ABC的平分线，∴∠DBA＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE. AB＝9，BC＝6，设CE＝x，又 DE∥AB，∴DEAB＝CECB，6－x9＝x6，解得x＝125. DE∥AB，∴S△CDES△CAB＝CE2CB2，即S△CDES△CAB＝425.∴S△CDES四边形ABED＝421.故选A.答案：A3．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不...
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