第四章习题详解1．下列数列是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：1)；2)；3)；4)；5)。2．证明：3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：1)；2)；3)；4)。4．下列说法是否正确？为什么？1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；13)每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。5．幂级数能否在收敛而在发散？6．求下列幂级数的收敛半径：1)（为正整数）；2)；3)；4)；5)；6)。7．如果的收敛半径为，证明的收敛半径。[提示：]8．证明：如果存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径；；。9．设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为。10．如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。211．把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径：1)；2)；3)；4)；5)；6)；7)；8)。12．求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：1)，；2)，；3)，；4)，；5)；；6)；。13．为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？314．证明在以的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为，。[提示：在公式中，取为，在此圆上设积分变量。然后证明的积分的虚部等于零。]15．下列结论是否正确？用长除法得因为所以16．把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：1)，；2)，，；3)，，；4)，；5)，在以为中心的圆环域内；6)，在的去心邻域内；7)，，。417．函数能否在圆环域展开成洛朗级数？为什么？18．如果为满足关系的实数，证明[提示：对展开成洛朗级数，并在展开式的结果中置，再令两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等。]19．如果为正向圆周，求积分的值。设为：1)；2)；3)；4)。20．试求积分的值，其中为单位圆内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。5
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