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复变函数习题答案第4章习题详解VIP专享VIP免费

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第四章习题详解1.下列数列是否收敛?如果收敛,求出它们的极限:1);2);3);4);5)。2.证明:3.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:1);2);3);4)。4.下列说法是否正确?为什么?1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛;2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点;13)每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。5.幂级数能否在收敛而在发散?6.求下列幂级数的收敛半径:1)(为正整数);2);3);4);5);6)。7.如果的收敛半径为,证明的收敛半径。[提示:]8.证明:如果存在,下列三个幂级数有相同的收敛半径;;。9.设级数收敛,而发散,证明的收敛半径为。10.如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛,证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。211.把下列各函数展开成的幂级数,并指出它们的收敛半径:1);2);3);4);5);6);7);8)。12.求下列各函数在指定点处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径:1),;2),;3),;4),;5);;6);。13.为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时,展开式的系数都是实数?314.证明在以的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为,。[提示:在公式中,取为,在此圆上设积分变量。然后证明的积分的虚部等于零。]15.下列结论是否正确?用长除法得因为所以16.把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数:1),;2),,;3),,;4),;5),在以为中心的圆环域内;6),在的去心邻域内;7),,。417.函数能否在圆环域展开成洛朗级数?为什么?18.如果为满足关系的实数,证明[提示:对展开成洛朗级数,并在展开式的结果中置,再令两边的实部与实部相等,虚部与虚部相等。]19.如果为正向圆周,求积分的值。设为:1);2);3);4)。20.试求积分的值,其中为单位圆内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。5

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