第三章习题详解1．沿下列路线计算积分。1)自原点至的直线段；解：连接自原点至的直线段的参数方程为：2)自原点沿实轴至，再由铅直向上至；解：连接自原点沿实轴至的参数方程为：连接自铅直向上至的参数方程为：3)自原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至。解：连接自原点沿虚轴至的参数方程为：连接自沿水平方向向右至的参数方程为：2．分别沿与算出积分的值。解：而3．设在单连通域内处处解析，为内任何一条正向简单闭曲线。问，1是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解：不成立。例如：，，4．利用在单位圆上的性质，及柯西积分公式说明，其中为正向单位圆周。解：5．计算积分的值，其中为正向圆周：1)；解：在上，2)解：在上，6．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向的圆周。1)解：在内解析，根据柯西—古萨定理，2)解：在内解析，根据柯西—古萨定理，3)解：在内解析，根据柯西—古萨定理，4)2解：在内解析，在内，5)解：在内解析，根据柯西—古萨定理，6)解：在内解析，在内，7．沿指定曲线的正向计算下列各积分：1)，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：2)，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：3)，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：4)，：解：不在内，在解析，根据柯西—古萨定理：5)，：解：在解析，根据柯西—古萨定理：36)，：为包围的闭曲线解：在解析，根据柯西—古萨定理：7)，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：8)，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：9)，：解：在内，在解析，根据高阶导数公式：10)，：解：在内，在解析，根据高阶导数公式：8．计算下列各题：1)解：2)；解：3)；解：44)；解：5)；解：6)（沿到的直线段）。解：9．计算下列积分：1)，（其中：为正向）；解：2)，（其中：为正向）；解：3)，（其中：为正向，：为负向）；解：在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：4)，：（其中为以，为顶点的正向菱形）；解：在所给区域内，有一孤立奇点，由柯西积分公式：5)，（其中为的任何复数，：为正向）。解：当，在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：5当，在所给区域内解析，根据高阶导数公式：10．证明：当为任何不通过原点的简单闭曲线时，。证明：当所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：；当所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：；11．下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？1)2)解：1）；2）由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为在复平面上处处不解析。12．设区域为右半平面，为内圆周上的任意一点，用在内的任意一条曲线连接原点与，证明。[提示：可取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为。证明：因为在内解析，故积分与路径无关，取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为，则：13．设和为相交于、两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为与。与的公共部分为。如果在与内解析，在、上也解析，证明：。证明：如图所示，在与内解析，在、上也解析，由柯西—古萨基本定理有：614．设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的不同位置，计算积分的值。解：分四种情况讨论：1）如果与都在的外部，则在内解析，柯西—古萨基本定理有2）如果与都在的内部，由柯西积分公式有3）如果在的内部，都在的外部，则在内解析，由柯西积分公式有4）如果在的外部，都在的内部，则在内解析，由柯西积分公式有15．设与为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明7证明：因为与为两条互不包含，也不相交，故与只有相离的位置关系，如图所所示。1）当在内时，在内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：2）当在内时，在内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：16．设函数在内解析，且沿任何圆周：，的积分等于零，问是否必需在处解析？试举例说明之。解：不一定。例如：在处不解析，但。17．设与在区域内处处解析，为内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于。如果在上所有的点处成立，试证在内所有的点处也成立。证明：设是内任意一...
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