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复变函数习题答案第3章习题详解VIP专享VIP免费

复变函数习题答案第3章习题详解_第1页
复变函数习题答案第3章习题详解_第2页
复变函数习题答案第3章习题详解_第3页
第三章习题详解1.沿下列路线计算积分。1)自原点至的直线段;解:连接自原点至的直线段的参数方程为:2)自原点沿实轴至,再由铅直向上至;解:连接自原点沿实轴至的参数方程为:连接自铅直向上至的参数方程为:3)自原点沿虚轴至,再由沿水平方向向右至。解:连接自原点沿虚轴至的参数方程为:连接自沿水平方向向右至的参数方程为:2.分别沿与算出积分的值。解:而3.设在单连通域内处处解析,为内任何一条正向简单闭曲线。问,1是否成立?如果成立,给出证明;如果不成立,举例说明。解:不成立。例如:,,4.利用在单位圆上的性质,及柯西积分公式说明,其中为正向单位圆周。解:5.计算积分的值,其中为正向圆周:1);解:在上,2)解:在上,6.试用观察法得出下列积分的值,并说明观察时所依据的是什么?是正向的圆周。1)解:在内解析,根据柯西—古萨定理,2)解:在内解析,根据柯西—古萨定理,3)解:在内解析,根据柯西—古萨定理,4)2解:在内解析,在内,5)解:在内解析,根据柯西—古萨定理,6)解:在内解析,在内,7.沿指定曲线的正向计算下列各积分:1),:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:2),:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:3),:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:4),:解:不在内,在解析,根据柯西—古萨定理:5),:解:在解析,根据柯西—古萨定理:36),:为包围的闭曲线解:在解析,根据柯西—古萨定理:7),:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:8),:解:在内,在解析,根据柯西积分公式:9),:解:在内,在解析,根据高阶导数公式:10),:解:在内,在解析,根据高阶导数公式:8.计算下列各题:1)解:2);解:3);解:44);解:5);解:6)(沿到的直线段)。解:9.计算下列积分:1),(其中:为正向);解:2),(其中:为正向);解:3),(其中:为正向,:为负向);解:在所给区域是解析的,根据复合闭路定理:4),:(其中为以,为顶点的正向菱形);解:在所给区域内,有一孤立奇点,由柯西积分公式:5),(其中为的任何复数,:为正向)。解:当,在所给区域内解析,根据柯西—古萨基本定理:5当,在所给区域内解析,根据高阶导数公式:10.证明:当为任何不通过原点的简单闭曲线时,。证明:当所围成的区域不含原点时,根据柯西—古萨基本定理:;当所围成的区域含原点时,根据高阶导数公式:;11.下列两个积分的值是否相等?积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到?为什么?1)2)解:1);2)由此可见,1)和2)的积分值相等。但2)的值不能利用闭路变形原理从1)得到。因为在复平面上处处不解析。12.设区域为右半平面,为内圆周上的任意一点,用在内的任意一条曲线连接原点与,证明。[提示:可取从原点沿实轴到,再从沿圆周到的曲线作为。证明:因为在内解析,故积分与路径无关,取从原点沿实轴到,再从沿圆周到的曲线作为,则:13.设和为相交于、两点的简单闭曲线,它们所围的区域分别为与。与的公共部分为。如果在与内解析,在、上也解析,证明:。证明:如图所示,在与内解析,在、上也解析,由柯西—古萨基本定理有:614.设为不经过与的正向简单闭曲线,为不等于零的任何复数,试就与跟的不同位置,计算积分的值。解:分四种情况讨论:1)如果与都在的外部,则在内解析,柯西—古萨基本定理有2)如果与都在的内部,由柯西积分公式有3)如果在的内部,都在的外部,则在内解析,由柯西积分公式有4)如果在的外部,都在的内部,则在内解析,由柯西积分公式有15.设与为两条互不包含,也不相交的正向简单闭曲线,证明7证明:因为与为两条互不包含,也不相交,故与只有相离的位置关系,如图所所示。1)当在内时,在内解析,根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式:2)当在内时,在内解析,根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式:16.设函数在内解析,且沿任何圆周:,的积分等于零,问是否必需在处解析?试举例说明之。解:不一定。例如:在处不解析,但。17.设与在区域内处处解析,为内的任何一条简单闭曲线,它的内部全含于。如果在上所有的点处成立,试证在内所有的点处也成立。证明:设是内任意一...

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