一、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP（比如p个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm来代替原来指标。那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即11112121...ppFaXaXaX,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F1,F2)=0，所以F2是与F1不相关的X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大的，故称F2为第二主成分，依此类推构造出的F1、F2、……、Fm为原变量指标X1、X2……XP第一、第二、……、第m个主成分。11111221221122221122...............ppppmmmmppFaXaXaXFaXaXaXFaXaXaX根据以上分析得知：(1)Fi与Fj互不相关，即Cov(Fi，Fj)=0,并有Var(Fi)=ai’Σai，其中Σ为X的协方差阵(2)F1是X1，X2，…，Xp的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大的,……,即Fm是与F1，F2，……，Fm－1都不相关的X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大者。F1，F2，…，Fm（m≤p）为构造的新变量指标，即原变量指标的第一、第二、……、第m个主成分。由以上分析可见，主成分分析法的主要任务有两点：（1）确定各主成分Fi（i=1，2，…，m）关于原变量Xj（j=1，2，…，p）的表达式，即系数ija（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）。从数学上可以证明，原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，所以前m个较大特征根就代表前m个较大的主成分方差值；原变量协方差矩阵前m个较大的特征值i（这样选取才能保证主成分的方差依次最大）所对应的特征向量就是相应主成分Fi表达式的系数ia，为了加以限制，系数ia启用的是i对应的单位化的特征向量，即有'aiai=1。（2）计算主成分载荷，主成分载荷是反映主成分Fi与原变量Xj之间的相互关联程度：(,)(,1,2,,;1,2,,)kikkiPZxaipkm二、主成分分析法的计算步骤主成分分析的具体步骤如下：（1）计算协方差矩阵计算样品数据的协方差矩阵：Σ=(sij)pp，其中11()()1nijkiikjjksxxxxni，j=1，2，…，p（2）求出Σ的特征值i及相应的正交化单位特征向量iaΣ的前m个较大的特征值12…m>0,就是前m个主成分对应的方差，i对应的单位特征向量ia就是主成分Fi的关于原变量的系数，则原变量的第i个主成分Fi为：Fi='iaX主成分的方差（信息）贡献率用来反映信息量的大小，i为：1/miiii（3）选择主成分最终要选择几个主成分，即F1,F2,……,Fm中m的确定是通过方差（信息）累计贡献率G(m)来确定11()/pmikikGm当累积贡献率大于85%时，就认为能足够反映原来变量的信息了，对应的m就是抽取的前m个主成分。（4）计算主成分载荷主成分载荷是反映主成分Fi与原变量Xj之间的相互关联程度，原来变量Xj（j=1，2，…，p）在诸主成分Fi（i=1，2，…，m）上的荷载lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）。：(,)(1,2,,;1,2,,)ijiijlZXaimjp在SPSS软件中主成分分析后的分析结果中，“成分矩阵”反应的就是主成分载荷矩阵。（5）计算主成分得分计算样品在m个主成分上的得分：1122...iiipipFaXaXaXi=1，2，…，m实际应用时，指标的量纲往往不同，所以在主成分计算之前应先消除量纲的影响。消除数据的量纲有很多方法，常用方法是将原始数据标准化，即做如下数据变换：*1,2,...,;1,2,...,ijjijjxxxinjps其中：11njijixxn，2211()1njijjisxxn根据数学公式知道，①任何随机变量对其作标准化变换后，其...
