专题63事件的关系与概率运算【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查概率的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1、事件的分类与概率：（1）必然事件：一定会发生的事件，用表示，必然事件发生的概率为（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用表示，不可能事件发生的概率为（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母进行表示，随机事件的概率2、事件的交并运算：（1）交事件：若事件发生当且仅当事件与事件同时发生，则称事件为事件与事件的交事件，记为，简记为多个事件的交事件：：事件同时发生（2）并事件：若事件发生当且仅当事件与事件中至少一个发生（即发生或发生），则称事件为事件与事件的并事件，记为多个事件的并事件：：事件中至少一个发生3、互斥事件与概率的加法公式：（1）互斥事件：若事件与事件的交事件为不可能事件，则称互斥，即事件与事件不可能同时发生.例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件，“出现3点”为事件，则两者不可能同时发生，所以与互斥（2）若一项试验有个基本事件：，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以之间均不可能同时发生，从而两两互斥（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若互斥，则有例如在上面的例子中，事件为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得，所以根据加法公式可得：（4）对立事件：若事件与事件的交事件为不可能事件，并事件为必然事件，则称事件为事件的对立事件，记为，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：，关于对立事件有几点说明：①公式的证明：因为对立，所以，即互斥，而，所以，因为，从而②此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解③对立事件的相互性：事件为事件的对立事件，同时事件也为事件的对立事件④对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层.由对立事件的定义可知：对立，则一定互斥；反过来，如果互斥，则不一定对立（因为可能不是必然事件）4、独立事件与概率的乘法公式：（1）独立事件：如果事件（或）发生与否不影响事件（或）发生的概率，则称事件与事件相互独立.例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件，“第二个骰子的点数是2”为事件，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以独立（2）若独立，则与，与，与也相互独立（3）概率的乘法公式：若事件独立，则同时发生的概率，比如在上面那个例子中，，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件，则.（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果.设其中一个结果为事件（则另一个结果为），已知事件发生的概率为，将该试验重复进行次（每次试验结果互不影响），则在次中事件恰好发生次的概率为①公式的说明：以“连续投掷次硬币，每次正面向上的概率为”为例，设为“第次正面向上”，由均匀的硬币可知，设为“恰好2次正面向上”，则有：而②的意义：是指在次试验中事件在哪次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中代表了符合条件的不同情况总数共3种5、条件概率及其乘法公式：（1）条件概率：（2）乘法公式：设事件，则同时发生的概率（3）计算条件概率的两种方法：（以计算为例）①计算出事件发生的概率和同时发生的概率，再利用即可计算②按照条件概率的意义：即在条件下的概率为事件发生后，事件发生的概率.所以以事件发生后的事实为基础，直接计算事件发生的概率6、两种乘法公式的联系：独立事件的交事件概率：含条件概率的交事件概率：通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后.所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）【经典例题】例1.【2018年全国卷Ⅲ...
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