高三数学12.4函数的连续性第81课时课题：函数的连续性一、教学目标：1．了解函数在一点处连续的定义及函数在点处连续必须满足的三个条件。2．理解闭区间上连续函数的性质。二、教学重点：三、教学过程：（一）主要知识：1．连续函数的定义：；2．初等函数的连续性：；3．连续函数具有以下性质（最大值最小值定理）：。（二）知识点详析1．连续函数的定义：如果函数y=f(x)在点处及其附近有定义，而且，就说函数f(x)在点连续。这个定义包含三层含义：⑴f(x)在点处及其附近有定义；⑵存在；⑶。以上三个条件只要缺少其中的任意一个，f(x)在处都不连续。在函数于处连续的定义的基础上，我们可以定义函数在区间上连续：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续；如果函数f(x)在开区间(a，b)内连续，在x=a处有，在x=b处有，就说函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，这种环环相扣、层层推进的定义方式能很好地培养我们严谨的逻辑思维。2．关于闭区间上的连续函数的性质，课本中借助于函数的几何图像只给出一个性质：最大值最小值定理。因为闭区间[a，b]上的连续函数f(x)的图像是坐标平面内的一条有始点(a，f(a))和终点(b，f(b))的连续曲线，所以函数f(x)在闭区间[a，b]上的函数值必存在最大值和最小值。（三）例题分析：例1.讨论下列函数在给定点或区间上的连续性：⑴，点x=0；⑵，区间[0，2]；⑶，点x=-1。分析对于函数f(x)在给定点处的连续性，关键是判断函数当时的极限是否等于；对于函数f(x)在给定区间上的连续性，则要看它在给定区间上任一点是否都有定义，是否都连续，特别要注意端点处的情形。解⑴当时，，则，∴，又，从而f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在x=0处不连续。⑵ ，∴f(x)在x=2处无定义，从而f(x)在x=2处不连续，因此f(x)在[0，2]上不连续，（但f(x)在区间[0，2]内是连续的）⑶ ，，∴，又，因此。所以函数f(x)在x=-1处连续。说明对于分段函数在分界点处的极限，一定要注意它的左、右极限是否存在，是否相等，对于分式函数，要注意如果分子、分母约去一个或几个因式后，所得函数与原来的函数是否是同一个函数。例2．函数，⑴求f(x)的定义域，并作出函数的图像；⑵求f(x)的不连续点；⑶对f(x)补充定义，使其在R上是连续函数。分析函数f(x)是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围。给函数f(x)补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求，再让即可。解：⑴函数f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠-1}。当x≠-1时，111)(2xxxxf，图象如图2—5所示。⑵由定义可知，函数f(x)的不连续点是。⑶因为当x≠-1时，f(x)=x-1，所以。因此，将函数f(x)的表达式改写为，则函数f(x)在R上连续。说明要作分式函数图像，首先应对函数式进行化简，然后再作函数的图像，别要注意化简前后的函数定义域不能发生变化。例3求a的值，使处处连续。分析：由函数解析式可以看出，f(x)在x<0及x>0时均连续。因此只需要考虑x=0时的情形。解：。而，要使f(x)在x=0处连续，必须取，则，且此时。∴时，f(x)处处连续。说明：分段函数的连续性关键在于分断点处是否连续。如果不连续，要补充定义的则补充定义；若是含参数的，使参数取适当的定值使得函数在此处连续。例4．设y=f(x)是一个分段函数⑴找出一个函数g(x)使函数f(x)在点x=-1，x=1处都连续；⑵函数f(x)在点x=-3，x=4处是否连续？若不连续，如何改变原来函数的部分表达式，使之连续？分析：在平面直角坐标系中画出已知函数的图像，可以发现在点x=-3，4处是间断的，在区间（-1，1）内是“空白的”。为了使函数在R上连续，可以求出当x=-3，-1，1，4时的函数值或函数的极限值，再构造函数使之满足函数连续的条件。解：⑴当x=-1时，，当x=1时，y=-1+4×1-2=1，于是所求函数g(x)满足：当x∈（-1，1）时，g（x）∈（-1，1），且，，在x∈（-1，1）上连续。于是可设g(x)=x，x∈（-1，1）.⑵又由于x=-3时，y=-1；而对于y=x+3当x=-3时，y=0。于是只要将y=x+3的图像向下平移一个单位长度，即可使函数在x=-3处连续。由于x=4时，y=0；而对于，当x=4时y=-2。于是只要将y=4-x的图像向下平移两个单位长度，...
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