高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十四讲反证法》主编：贾广素136第十四讲反证法反证法（Proofbycountradiction）是这样的一种方法，先提出和命题中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了命题的正确性。反证法也称为归谬法。反证法是一种间接证明问题的方法，用反证法证明一命题“AB”，一般而言可以分为三个步骤：（1）反设：假设B不成立，则B的反面成立；（2）归谬：对A且B的反面进行正确的推理，得到C且C的反面同时成立，产生矛盾！（3）结论：由矛盾知B的反面不成立，从而确定B成立。这整个过程是肯定命题的条件而否定其结论，经过正确的推理，达到新的否定，构成了这样一个间接肯定的公式：否定推理否定。事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是可能其逆否命题比较容易证明。上述的得出了矛盾，事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，所以这个假设的反面就是正确的，从而命题得证。一．反证法是一种非常重要的方法对于反证法，常有一种对其功能认识不足的误解，以为是正面、直接证明走不通时，迫不得已而采取的被动的证明方法。其实，反证法是一种积极的、主动地证明大法，其具体表现为：（1）一个命题若能直接证明，常能对其施以反证法证明。比如，凡是能用数学归纳法、抽屉原理来证明的命题，均可以用反证法来加以证明；（2）对“AB”用反证法“A且BC且C”时，等于增加了一个已知条件（有效增设）B，从而使推导更容易入手，也便于推进；（3）对“AB”，目标是惟一的，而“A且BC且C”时，C有较多的选择余地；（4）在探索解题思路时，由B找充分条件靠拢A，不如由A且B找必要条件方便。在很多情况下，一个命题是否用反证法，主要的不是能不能用，而是选用哪种证明方法比较好。高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十四讲反证法》主编：贾广素137二．反证法适用的场合1.结论以否定形式出现的命题例1．试证1994不等于任何一个整系数二次方程ax2＋bx＋c=0的判别式的值．证明：假设Δ=b2－4ac=1994，则b2为偶数，故可设b=2n．于是4(n2－ac)=1994， 4|4(n2－ac)，但41994，矛盾．∴Δ≠1994．探究１：平面上有6个圆，每个圆的圆心都在其余各个圆的外部，求证：平面上任何一点都不会同时在这6个圆的内部。2．结论中出现“至多”域“至少”的命题例2．设a、b、c、d都是非零实数，试证：－ab、cd、ac、bd这四个数中，至少有一个取正值，且至少有一个取负值．证明假设－ab、cd、ac、bd全取正值或全取负值，则－ab·cd·ac·bd＞0①而－ab·cd·ac·bd=－(abcd)2＜0②①、②矛盾，故给出四个数中，至少有一个取正值，且至少有一个取负值．探究２：若x、y都是正数，且x+y>2，求证：12xy和12yx中至少有一个成立。3．结论中出现“必然”或“一定”的命题例３．求证：大于1的任何整数一定有质因数．证明：假设至少有一个大于1的整数n没有质因数，则n本身必非质数，又n＞1，故n是合数，则它具有一个异于1及n的真因数，设为n1，则n＞n1＞1，且n1非质数．同理n1又有一个真因数n2，且n1＞n2＞1，n2非质数．高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十四讲反证法》主编：贾广素138仿此有n＞n1＞n2＞…＞1，即1和n之间有无限个正整数，显然不可能，由这个矛盾，命题获证．探究３：已知：a－2，a－1，a，a＋1，a＋2是五个连续的自然数．求证：它们的平方和不可能是一个完全平方数．4．欲证“唯一性”结论的命题例4．求证：方程x3-2y3-4x=0有且只有一组整数解x=y=z=0．证明：假设x0，y0，z0是方程的另一组解，x0、y0、z0不全为零(不妨设x0≠0)，代入方程知：x0、y0、z0都是偶数，于是可设x0=2x1，y0=2y1，z0=2z1，易知x1、y1、z1也是方程的一组整数解，且也都是偶数，如此下去，得解x=x2y=y2z=z2n0nn0nn0n，，也是方程的解，且都是偶数，但≠，故当充分大时＜＜，x0n00||xn021这与为偶数矛盾，故命题为真．xn02探究４：过平面上的点A的直线a，求证：a是唯一的。5．结论涉及的对象为无限的命题例5．...
VIP
