有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AÍB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k≠0).解当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=xk(k≠0).解当k＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).解当a＞1时(－∞，－ab2)是这个函数的单调减区间，(－ab2，+∞)是它的单调增区间；当a＜1时(－∞，－ab2)是这个函数的单调增区间，(－ab2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a＞0，a≠1).解当a＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=logax(a＞0，a≠1).解当a＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。用心爱心专心例1求下列函数的单调区间：y=log4(x2－4x+3)解法一：设y=log4u,u=x2－4x+3.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.解法二：u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＜2(u减)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＞2(u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.例2求下列复合函数的单调区间：y=log31(2x－x2)解：设y=log31u,u=2x－x2.由u＞0u=2x－x2解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.由于y=log31u在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由0＜x＜2（复合函数定义域）x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由x＜2，(复合函数定义域)x≥1，(u减)解得1≤x＜2,所以[1，2)是原复合函数的单调增区间.例3求y=267xx的单调区间.解：设y=u,u=7－6x－x2,由u≥0,u=7－6x－x2解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.因为y=u在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。由-7≤x≤1,（复合函数定义域）x≤-3,（u增）解得-7≤x≤-3.所以[-7，...
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